सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 16, 10, 57, 34, 60, 50, 40।

n = 7

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 70 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 10x = 70

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

5 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.7

P =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 475.8 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 475.8 g

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।

μ = 100σ = 15P = 90%

x = अंक

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 77.5 और मानक विचलन s = 1 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 25x̄ = 77.5s = 195%t(24) = 2.064

E =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 6 प्लॉट, माध्य उपज 75.5 kg, मानक विचलन 7 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 68 kg, मानक विचलन 5.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 6x̄₁ = 75.5s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 68s₂ = 5.590%t(14) = 1.761

ऊपरी सीमा = kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 122.4 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 122.4s = 20n = 100

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 399%

n =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 21) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 21)

e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 19.48

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 267/7 = 38.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−22.14)² + (−28.14)² + 18.86² + (−4.143)² + 21.86² + 11.86² + 1.857² = 2277

मानक विचलन

s = √(2277/6) = 19.48

उत्तर

s = 19.48

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1

मानकीकृत करें

z = (70 − 60)/10 = 1

उत्तर

z = 1

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.44

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.6

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.2

प्रसरण

Var(X) = 8.2 − 2.6² = 1.44

उत्तर

Var(X) = 1.44

4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.03078

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.3⁵ = 0.00243

P(X = 1) = 5·0.7·0.3⁴ = 0.02835

जोड़ें

P = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078

उत्तर

P = 0.03078

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8438

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

मानकीकृत करें

z = (475.8 − 480)/4.157 = −1.01

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

उत्तर

P = 0.8438

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 119.2 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

वापस x पर

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 अंक

उत्तर

x = 119.22 अंक

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 0.4128

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 24, t = 2.064

त्रुटि सीमा

E = 2.064·1/√25 = 0.4128

उत्तर

E = 0.4128

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 13.03 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (5·7² + 9·5.5²)/14 = 36.95

s_p = 6.078

त्रुटि सीमा

E = 1.761·6.078·√(1/6 + 1/10) = 5.528

अंतराल

7.5 ± 5.528 → [1.972, 13.03]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 13.03 kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (122.4 − 120)/2 = 1.2

उत्तर

t = 1.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 48

n ज्ञात करें

n = (2.576·8/3)² = 47.19

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 48

उत्तर

n = 48

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9867

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 410/6 = 68.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 322

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1521

सहसंबंध गुणांक

r = 322/√(70·1521) = 0.9867

उत्तर

r = 0.9867

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 4.9

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

समाश्रयण रेखा

b = −22/10 = −2.2

a = 19.4 − (−2.2)·3 = 26

ŷ = 26 − 2.2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 26 + (−2.2)·4.5 = 16.1

अवशिष्ट

e = 21 − 16.1 = 4.9

उत्तर

e = 4.9

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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