सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 28, 50, 48, 20, 60, 55, 16।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 60 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 452 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 500σ = 60x = 452
z =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.2520.230.2μ = 1.25

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.2, 0.2
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
€p(x)−10.6920.3190.01

एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.3 से €3 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €20; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €1€3: p = 0.3€20: p = 0.01
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.2266

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.2266 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.2266
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 500x = ?5%

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 5% आते हैं (5वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 66.5 h, ज्ञात मानक विचलन 17 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 58.5 h, ज्ञात मानक विचलन 20 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 66.5 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 58.5 hσ₂ = 20 h95%
ऊपरी सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 16σ = ?Us = 1295%

16 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 12 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 15 के साथ χ² बंटन का 2.5% 6.262 से नीचे और 2.5% 27.488 से ऊपर है।

n = 16s = 12 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.2012.201t = ?df = 11

12 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 9.51 और अंतरों का मानक विचलन 8.9 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 12d̄ = 9.51sd = 8.9
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 12 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 12E = 399%
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy17951910221106231252513427141xy2025100120140

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 132Σy = 703Σx² = 2974Σy² = 84127Σxy = 15811
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2124176258331042xy51010203040ŷ = 22

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 22 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 22
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.83

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 277/7 = 39.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−11.57)² + 10.43² + 8.429² + (−19.57)² + 20.43² + 15.43² + (−23.57)² = 1908

मानक विचलन

s = √(1908/6) = 17.83

उत्तर

s = 17.83
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (452 − 500)/60 = −0.8

उत्तर

z = −0.8
3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.288

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.2 = 1.25

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.2 = 2.85

प्रसरण

Var(X) = 2.85 − 1.25² = 1.288

उत्तर

Var(X) = 1.288
4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.1 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 2 (p = 0.3), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)

प्रत्याशित मान

E(G) = 2·0.3 + 19·0.01 − 1·0.69 = 0.1 €

उत्तर

E(G) = 0.1 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.75

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.2266 = 0.7734

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7734 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.75

उत्तर

z = 0.75
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 434.2 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

वापस x पर

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

उत्तर

x = 434.2 h
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 15.24 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 66.5 − 58.5 = 8

मानक त्रुटि

SE = √(17²/30 + 20²/100) = 3.692

त्रुटि सीमा

E = 1.96·3.692 = 7.237

अंतराल

8 ± 7.237 → [0.763, 15.24]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 15.24 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 8.865 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 15·12² = 2160

σ² की सीमाएँ

2160/27.488 = 78.58
2160/6.262 = 344.9

σ की सीमा

σ = √78.58 = 8.865 µm

उत्तर

σ = 8.865 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [8.865, 18.57] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 3.702

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 8.9/√12 = 2.569

परीक्षण सांख्यिकी

t = 9.51/2.569 = 3.702

उत्तर

t = 3.702

df = 11 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.201 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 107

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (2.576·12/3)² = 106.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 107

उत्तर

n = 107
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9832

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 15811 − 132·703/6 = 345
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 84127 − 703²/6 = 1759

सहसंबंध गुणांक

r = 345/√(70·1759) = 0.9832

उत्तर

r = 0.9832
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 129/5 = 25.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

समाश्रयण रेखा

b = 152/40 = 3.8
a = 25.8 − 3.8·6 = 3
ŷ = 3 + 3.8·x

x के लिए हल करें

x = (22 − 3)/3.8 = 5

उत्तर

x = 5

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