सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 23, 34, 44, 41, 19, 52, 24।

n = 7

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 90 से अधिक है?

μ = 100σ = 20x = 90

P =

3.प्रायिकतामध्यम

8 लोगों के समूह से 2 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 8k = 2

N =

4.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.05, 0.15Y = 2X + 20

σ_Y =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 57.5 और 75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x₁ = 57.5x₂ = 75

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

15 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 1.1 और मानक विचलन 4.7 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 15d̄ = 1.1s_d = 4.799%t(14) = 2.977

E = mmHg

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.7 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p ≈ 0.7E = 0.02595%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 2.5 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 119.38 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ ≠ 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 2.5n = 25x̄ = 119.38H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 1.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 4 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 1.5σ = 4z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 90Σx² = 220Σy² = 1986Σxy = 660

r =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (20.5, 118) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(20.5, 118)

e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.38

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 237/7 = 33.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−10.86)² + 0.1429² + 10.14² + 7.143² + (−14.86)² + 18.14² + (−9.857)² = 918.9

मानक विचलन

s = √(918.9/6) = 12.38

उत्तर

s = 12.38

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6915

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

उत्तर

P = 0.6915

3.प्रायिकता

उत्तर: N = 28

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

उत्तर

N = 28

4.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.646

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.5, Var(X) = 1.75, σ_X = 1.323

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |2|·1.323 = 2.646

उत्तर

σ_Y = 2.646

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·1.5 + 20 = 23।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6147

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (57.5 − 65)/10 = −0.75

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1) − Φ(−0.75) = 0.8413 − 0.2266 = 0.6147

उत्तर

P = 0.6147

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9207

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

उत्तर

P = 0.9207

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 3.613 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 14, t = 2.977

त्रुटि सीमा

E = 2.977·4.7/√15 = 3.613

उत्तर

E = 3.613 mmHg

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1291

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.7·0.3/0.025² = 1291

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1291

उत्तर

n = 1291

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 2.5/√25 = 0.5

z = (119.38 − 120)/0.5 = −1.24

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.24) = 0.8925

1 − Φ(1.24) = 0.1075

p-मान

p = 2·0.1075 = 0.215

उत्तर

p = 0.215

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 93

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·4/1.5)² = 92.57

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 93

उत्तर

n = 93

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9918

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 660 − 30·90/5 = 120

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1986 − 90²/5 = 366

सहसंबंध गुणांक

r = 120/√(40·366) = 0.9918

उत्तर

r = 0.9918

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.214

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 801/6 = 133.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 982.5

समाश्रयण रेखा

b = 982.5/157.5 = 6.238

a = 133.5 − 6.238·23.5 = −13.1

ŷ = −13.1 + 6.238·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −13.1 + 6.238·20.5 = 114.8

अवशिष्ट

e = 118 − 114.8 = 3.214

उत्तर

e = 3.214

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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