सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 24, 11, 27, 46, 20।

n = 5

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 104 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 10x = 104

z =

3.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7

P =

4.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 12 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.6k = 4

P =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 60 s और मानक विचलन 5 s है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 45 s और मानक विचलन 4 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 117.8 s से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 11.9 है। 450 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 50E₁ = 11.990%n₂ = 450

E₂ =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 17 प्लॉट, माध्य उपज 53.5 kg, मानक विचलन 5.5 kg। प्लॉट समूह 2: 9 प्लॉट, माध्य 65 kg, मानक विचलन 2 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 17x̄₁ = 53.5s₁ = 5.5n₂ = 9x̄₂ = 65s₂ = 290%t(24) = 1.711

E = kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 14 छात्र, माध्य अंक 89, मानक विचलन 5.5। समूह 2: 12 छात्र, माध्य अंक 80.8, मानक विचलन 7.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 14x̄₁ = 89s₁ = 5.5n₂ = 12x̄₂ = 80.8s₂ = 7.5

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 8 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 52.6 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50μ = 52.6σ = 8n = 64α = 0.05

1 − β = %

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 22.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 22.5

ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.9

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 128/5 = 25.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.6)² + (−14.6)² + 1.4² + 20.4² + (−5.6)² = 665.2

मानक विचलन

s = √(665.2/4) = 12.9

उत्तर

s = 12.9

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.4

मानकीकृत करें

z = (104 − 100)/10 = 0.4

उत्तर

z = 0.4

3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209

4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04204

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 495·0.6⁴·0.4⁸ = 495·0.1296·0.0006554 = 0.04204

उत्तर

P = 0.04204

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

मानकीकृत करें

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9706

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

उत्तर

P = 0.9706

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.533

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/450) = 0.2129

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 11.9·0.2129 = 2.533

उत्तर

E₂ = 2.533

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 3.27 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (16·5.5² + 8·2²)/24 = 21.5

s_p = 4.637

त्रुटि सीमा

E = 1.711·4.637·√(1/17 + 1/9) = 3.27

उत्तर

E = 3.27 kg

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 3.21

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (13·5.5² + 11·7.5²)/24 = 42.17

s_p = 6.494

मानक त्रुटि

SE = 6.494·√(1/14 + 1/12) = 2.555

परीक्षण सांख्यिकी

t = (89 − 80.8)/2.555 = 3.21

उत्तर

t = 3.21

df = 24 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.064 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 83.02 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 50 + 1.645·1 = 51.65

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (51.65 − 52.6)/1 = −0.955

शक्ति

शक्ति = P(Z > −0.955) = 83.02%

1 − β = 83.02%

उत्तर

1 − β = 83.02%

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9745

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 223/5 = 44.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 357.2

निर्धारण गुणांक

r² = 59²/(10·357.2) = 0.9745

उत्तर

r² = 0.9745

y के विचरण का लगभग 97.45% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 128.7

माध्य

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 687/5 = 137.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 522

समाश्रयण रेखा

b = 522/90 = 5.8

a = 137.4 − 5.8·24 = −1.8

ŷ = −1.8 + 5.8·x

पूर्वानुमान

ŷ = −1.8 + 5.8·22.5 = 128.7

उत्तर

ŷ = 128.7

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