ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

450 kPa और 60 °C पर Ar का 500 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 500 gM = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.आदर्श गैस नियमकठिन

850 kPa और 80 °C पर Ar का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 39.95 g/molP = 850 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 130 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 80 °Ct: 30 → 75 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 6.5 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को 5 °C पर रखता है, और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = 5 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 6.5 kW

Q̇_H = kW

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 400 °C वाले स्रोत से 190 kW ऊष्मा लेता है और 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो 0 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 400 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 190 kW

Q̇_L = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 20r_c = 2.5T₁ = 310 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 15 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 15k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 77.04 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 500/39.95 = 12.52 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

आयतन

V = nRT/P = 12.52·8.314·333.1/450 = 77.04 L

उत्तर

V = 77.04 L

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 11.57 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

घनत्व

ρ = 850·39.95/(8.314·353.1) = 11.57 kg/m³

उत्तर

ρ = 11.57 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 75.24 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 2·2.1·(180 − 130) = 210 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 210/(1·4.18) = 75.24 °C

उत्तर

t_out = 75.24 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 1.608 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 2·2.1·(160 − 80) = 336 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.1)·336 = 302.4 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 302.4/(4.18·45) = 1.608 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 1.608 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 6.851 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6.5·293.1/278.1 = 6.851 kW

उत्तर

Q̇_H = 6.851 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.3505 kW।

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 1065 kW

परम तापमान

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 300.1/673.1 = 0.5541

Ẇ = 0.5541·190 = 105.3 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 273.1/(300.1 − 273.1) = 10.12

Q̇_L = 10.12·105.3 = 1065 kW

उत्तर

Q̇_L = 1065 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2569 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 310·20^0.4 = 1027 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2.5·1027 = 2569 K

उत्तर

T₃ = 2569 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 53.87 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/15^0.2857 = 1 − 1/2.168 = 53.87%

उत्तर

η = 53.87%

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