ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
N₂ का 370 gV = 20 LT = 30 °CP = ?

20 L की टंकी में 30 °C पर N₂ का 370 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 370 gM = 28.01 g/molV = 20 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.आदर्श गैस नियमकठिन
He, M = 4.003 g/molP = 950 kPaT = 80 °Cρ = ?

950 kPa और 80 °C पर He का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 4.003 g/molP = 950 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षएथेनॉल · 170 °C60 °Cपानी · 15 °Ct = ? °C

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 180 °C130 °Cपानी · 25 °C75 °C · ṁ = ?10% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 130 °Ct: 25 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 450 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 38%

एक ऊष्मा इंजन 450 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 38% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता ηII, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

TH = 450 °CTL = 25 °Cη = 38%
ηII = %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
TH​ = 800 °CT0​ = 30 °CTL​ = -10 °CERWQ̇H​ = 130 kWQ̇L​ = ?

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 800 °C वाले स्रोत से 130 kW ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -10 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

TH = 800 °CT0 = 30 °CTL = -10 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 1.8 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 20rc = 1.8k = 1.4
η = %
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 10 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 288 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 88% और टरबाइन की 88% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 10T1 = 288 KT3 = 1300 Kηc = 88%ηt = 88%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1665 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 370/28.01 = 13.21 mol
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

दाब

P = nRT/V = 13.21·8.314·303.1/0.02 = 1665 kPa

उत्तर

P = 1665 kPa
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 1.295 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

घनत्व

ρ = 950·4.003/(8.314·353.1) = 1.295 kg/m³

उत्तर

ρ = 1.295 kg/m³
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 143.4 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 3·2.44·(170 − 60) = 805.2 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 805.2/(1.5·4.18) = 143.4 °C

उत्तर

tout = 143.4 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 1.13 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 2.5·2.1·(180 − 130) = 262.5 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.1)·262.5 = 236.3 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 236.3/(4.18·50) = 1.13 kg/s

उत्तर

ṁc = 1.13 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: ηII = 64.66 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 450 + 273.15 = 723.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

कार्नो दक्षता

ηCarnot = 1 − 298.1/723.1 = 58.77 %

द्वितीय-नियम दक्षता

ηII = η/ηCarnot = 38/58.77 = 64.66 %

उत्तर

ηII = 64.66 %
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇L = 613.6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

परम तापमान

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
T0 = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 303.1/1073 = 0.7175
Ẇ = 0.7175·130 = 93.28 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COPR = 263.1/(303.1 − 263.1) = 6.579
Q̇L = 6.579·93.28 = 613.6 kW

उत्तर

Q̇L = 613.6 kW
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 65.6 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

कटऑफ़ पद

(1.81.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.3017·1.14 = 65.6%

उत्तर

η = 65.6%
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 248.1 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2s = 288·100.2857 = 556 K
T4s = 1300/100.2857 = 673.3 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(556 − 288)/0.88 = 306.1 kJ/kg
wt = 0.88·1.005·(1300 − 673.3) = 554.2 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 554.2 − 306.1 = 248.1 kJ/kg

उत्तर

wnet = 248.1 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 55.23%।

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