ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 75 °C पर Ar का 460 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 460 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

300 kPa और 100 °C पर CO₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 44.01 g/molP = 300 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 150 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 110 °Ct: 25 → 45 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 500 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 31% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 500 °CT_L = 20 °Cη = 31%

η_II = %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 32 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -25 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 3.5 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 32 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 3.5 kW

Ẇ_min = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 22 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 22r_c = 1.8T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 8 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1400 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 85% और टरबाइन की 92% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 8T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1111 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 460/39.95 = 11.51 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

दाब

P = nRT/V = 11.51·8.314·348.1/0.03 = 1111 kPa

उत्तर

P = 1111 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 4.256 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

घनत्व

ρ = 300·44.01/(8.314·373.1) = 4.256 kg/m³

उत्तर

ρ = 4.256 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 50.84 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1·3.6·(180 − 150) = 108 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 108/(1·4.18) = 50.84 °C

उत्तर

t_out = 50.84 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 1.281 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 0.5·3.6·(180 − 110) = 126 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.15)·126 = 107.1 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 107.1/(4.18·20) = 1.281 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 1.281 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 49.93 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 293.1/773.1 = 62.08 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 31/62.08 = 49.93 %

उत्तर

η_II = 49.93 %

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.8039 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(305.1 − 248.1) = 4.354

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3.5/4.354 = 0.8039 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.8039 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1828 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 295·22^0.4 = 1016 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·1016 = 1828 K

उत्तर

T₃ = 1828 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 282.4 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 310·8^0.2857 = 561.5 K

T_4s = 1400/8^0.2857 = 772.9 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(561.5 − 310)/0.85 = 297.4 kJ/kg

w_t = 0.92·1.005·(1400 − 772.9) = 579.9 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 579.9 − 297.4 = 282.4 kJ/kg

उत्तर

w_net = 282.4 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 51.29%।

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