स्प्रिंग और लोलक
- स्प्रिंग पर द्रव्यमान
- T = 2π·√(m/k)
- लोलक
- T = 2π·√(L/g)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = √(k/m) = 2π/T
- अधिकतम चाल और त्वरण
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- ऊर्जा
- E = ½·k·A²
तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
- तरंग चाल
- v = fλ, T = 1/f
- डोरी
- v = √(T/μ), μ = m/L
- ध्वनि स्तर
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- बिंदु स्रोत
- I = P/(4πr²)
- अप्रगामी तरंगें
- डोरी या खुली नली fn = n·v/(2L); बंद नली fn = n·v/(4L), n विषम
- डॉप्लर प्रभाव
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- अपवर्तनांक
- n = c/v, λ = λ0/n
- स्नेल का नियम
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- क्रांतिक कोण
- sin θc = n2/n1
- प्रकाशिक तंतु
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- लेंस और दर्पण
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- द्वि-झिरी
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- झरझरी
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- एकल झिरी
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
विधि
- प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
- पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
- इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
- चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।
2अभ्यास प्रश्न
1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम
k = 270 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3.8 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 11 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 8 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
m = 3.8 kgk = 270 N/mA = 11 cmx = 8 cm
v = m/s
2.स्प्रिंग और लोलककठिन
k = 100 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 8 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 6 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।
k = 100 N/mA = 8 cmx = 6 cm
U = J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम
एक छोटा लाउडस्पीकर 0.01 W ध्वनि शक्ति सभी दिशाओं में समान रूप से विकीर्ण करता है। 8 m पर ध्वनि तीव्रता स्तर β ज्ञात करें।
P = 0.01 Wr = 8 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन
एक विवर्तन झरझरी में 500 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर हैं। 486 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उस पर समकोण पर पड़ता है। देखी जा सकने वाली दीप्त उच्चिष्ठ की उच्चतम कोटि mmax क्या है?
N = 500 mm⁻¹λ = 486 nm
mmax =
3विलयन
1.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: v = 0.6364 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कोणीय आवृत्ति
ω = √(270/3.8) = 8.429 rad/s
x पर चाल
v = ω·√(A² − x²) = 8.429·√(0.11² − 0.08²) = 0.6364 m/s
उत्तर
v = 0.6364 m/s
2.स्प्रिंग और लोलक
उत्तर: U = 0.18 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
कुल ऊर्जा
E = ½·k·A² = ½·100·0.08² = 0.32 J
x पर स्प्रिंग ऊर्जा
U = ½·k·x² = ½·100·0.06² = 0.18 J
उत्तर
U = 0.18 J
3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: β = 70.95 dB
तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।
तीव्रता
I = P/(4πr²) = 1.243 × 10⁻⁵ W/m²
स्तर
β = 10·log₁₀(1.243 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 70.95 dB
उत्तर
β = 70.95 dB
4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी
उत्तर: mmax = 4
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
रेखा अंतराल
d = 1/500 mm = 2 µm
उच्चतम कोटि
m ≤ d/λ = 2 µm/0.486 µm = 4.115 → mmax = 4
उत्तर
mmax = 4
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