तरंगें और प्रकाशिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 1.1 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 2.21 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।

L = 1.1 mT = 2.21 s

g = m/s²

2.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 60 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.2 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 4 cm खींचकर छोड़ा जाता है। दोलन की कुल ऊर्जा E ज्ञात कीजिए।

m = 2.2 kgk = 60 N/mA = 4 cm

E = J

3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक प्रेक्षक 400 Hz के स्थिर स्रोत की ओर 15 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 25 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 5 cm और लेंस 2 की f₂ = 15 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 30 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 5 cmf₂ = 15 cms = 25 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: g = 8.891 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g के लिए हल करें

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/2.21² = 8.891 m/s²

उत्तर

g = 8.891 m/s²

2.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: E = 0.048 J

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

कोणीय आवृत्ति

ω = √(60/2.2) = 5.222 rad/s

ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·60·0.04² = 0.048 J

उत्तर

E = 0.048 J

3.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 417.5 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 417.5 Hz

उत्तर

f′ = 417.5 Hz

4.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = 71.25 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/5 − 1/30 → d_i1 = 6 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 25 − 6 = 19 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/15 − 1/19 → d_i2 = 71.25 cm

उत्तर

d_i2 = 71.25 cm

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