उत्तरों सहित इष्टतमीकरण वर्कशीट

एक किसान के पास एक सीधी नदी के किनारे एक आयताकार खेत घेरने के लिए 200 m बाड़ है। नदी के किनारे बाड़ की आवश्यकता नहीं है। सबसे बड़े क्षेत्रफल के लिए नदी के लंबवत हर भुजा की लंबाई x ज्ञात कीजिए।

एक आयताकार बाड़े को 120 m बाड़ से घेरा जाता है और लंबाई x वाली भुजाओं के समांतर एक अतिरिक्त बाड़ से दो भागों में बाँटा जाता है (कुल मिलाकर लंबाई x की तीन और लंबाई y की दो बाड़ें)। घेरा जा सकने वाला सबसे बड़ा कुल क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

300 m² का एक आयताकार भूखंड चारों ओर से बाड़ से घिरा है। सड़क के किनारे वाली भुजा, जिसकी लंबाई x है, की लागत €20 प्रति मीटर है; अन्य तीन भुजाओं की लागत €5 प्रति मीटर है। न्यूनतम कुल लागत C ज्ञात कीजिए।

वर्गाकार आधार वाले एक खुले डिब्बे (बिना ढक्कन) में 108000 cm³ आना चाहिए। सबसे कम संभव सामग्री का उपयोग करें, अर्थात आधार और चारों भुजाओं का सबसे छोटा क्षेत्रफल। न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल S ज्ञात कीजिए।

एक कंपनी प्रति सप्ताह q इकाइयाँ बेचती है। जिस मूल्य पर वह उन्हें बेच सकती है वह p = 60 − 0.25q यूरो प्रति इकाई है, और लागत C(q) = 400 + 15q यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला मूल्य p ज्ञात कीजिए।

एक थिएटर प्रति शो €12 प्रति टिकट पर 410 टिकट बेचता है। बाज़ार अनुसंधान दिखाता है कि टिकट मूल्य में हर €1 की वृद्धि से 10 टिकट कम बिकते हैं (और हर €1 की कमी से 10 अधिक)। राजस्व अधिकतम करने वाला टिकट मूल्य p ज्ञात कीजिए।