Soal latihan AP Calculus: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode: tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(4x² − 10x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 10x) − 2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^0,5x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x²·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 0,5x² − 3 di x = −2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 0,5x² − 3x = −2

b =

5.OptimasiSedang

Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 355 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari tinggi h kaleng yang memakai bahan paling sedikit.

V = 355 cm³

h = cm

6.OptimasiSulit

Sebuah teater menjual 1225 tiket per pertunjukan seharga €25 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 25 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 25 lebih banyak). Cari harga tiket p yang memaksimumkan pendapatan.

1225 × €2525 / €1

p = €

7.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂⁶ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 6]

I =

8.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 400 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 23 °C. Setelah 29 menit suhunya 234 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 23 °CT(29) = 234 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 400 L air yang melarutkan 20 kg garam. Air garam dengan 0,2 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 4 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 56 kg garam?

V = 400 Lm₀ = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min

t = min

11.Barisan & deretSedang

Carilah jumlah S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 1)).

a_k = 12/(k(k + 1))

S =

12.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri pada x = 2 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 8, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 1 × 10⁻⁵

n =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −2,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = −10x/(√(4x² − 10x) + 2x)

Bagi dengan x

f(x) = −10/(√(4 + (−10)/x) + 2)

Biarkan x → ∞

L = −10/(2 + 2) = −2,5

Jawaban

L = −2,5

2.Limit

Jawaban: L = 1,25

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

Substitusikan x = 0

L = 5/4 = 1,25

Jawaban

L = 1,25

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 1,445

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(2x + 0,5·x²)

Substitusikan

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,125) = 1,445

Jawaban

f′(0,5) = 1,445

4.Turunan

Jawaban: b = −5

Titik dan kemiringan

f(−2) = −1

f′(x) = x → f′(−2) = −2

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−2)·(−2) = −5

Jawaban

b = −5

5.Optimasi

Jawaban: h = 7,674 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Samakan turunan dengan nol

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, sehingga ini minimum.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Tinggi dan luas

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Jawaban

h = 7,674 cm

Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.

6.Optimasi

Jawaban: p = 37 €

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 1850 − 25p

R(p) = 1850p − 25p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −50 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 1850/50 = €37

Pendapatan maksimum

n = 1850 − 25·37 = 925

R = 37·925 = €34225

Jawaban

p = €37

7.Integral

Jawaban: I = 4,394

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 4·ln x

Substitusikan batasnya

I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4,394

Jawaban

I = 4,394

8.Integral

Jawaban: A = 10,67

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,02001 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−29k = 211/377

Selesaikan untuk k

k = ln(377/211)/29 = 0,02001 min⁻¹

Jawaban

k = 0,02001 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 91,63 min

Hasil

m(t) = 80 + (−60)·e^−t/100

Selesaikan untuk t

e^−t/100 = (80 − 56)/(80 − 20) = 0,4

t = 100·ln(2,5) = 91,63 min

Jawaban

t = 91,63 min

11.Barisan & deret

Jawaban: S = 12

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

12/(k(k + 1)) = 12·(1/k − 1/(k + 1))

Batal

S = 12·1 = 12

Jawaban

S = 12

12.Barisan & deret

Jawaban: n = 13

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas untuk n yang membesar

n = 12: 1,052 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 13: 1,503 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Derajat terkecil

n = 13

Jawaban

n = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice