Soal latihan AP Calculus: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode: tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−6x² − 3x + 6)/(4x² + 2x + 9).

f(x) = (−6x² − 3x + 6)/(4x² + 2x + 9)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x³·e^2x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x³·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 6. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 6

x =

5.OptimasiSedang

Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 750 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari jari-jari r yang memakai bahan paling sedikit.

V = 750 cm³

r = cm

6.OptimasiSulit

Sebuah perusahaan kecil menjual produknya dengan harga pasar tetap €20 per unit. Biaya produksi q unit adalah C(q) = 1900 + 4q + 0,01q² euro. Cari produksi q yang memaksimumkan laba.

p = €20C = 1900 + 4q + 0,01q²

q = unit

7.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂⁴ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 4]

I =

8.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²

A =

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 380 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 28 °C. Setelah 52 menit suhunya 237 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 380 °CT_a = 28 °CT(52) = 237 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 4,25y = 42,5 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max dari respons langkahnya.

y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Barisan & deretSedang

Deret pangkat Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ·(x − 2)ᵏ konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = 2. Carilah ujung kiri x interval itu.

Σ k²·3ᵏ·(x − 2)ᵏx₀ = 2

x =

12.Barisan & deretSulit

Pakai polinom Maclaurin berderajat 2 dari f(x) = e^3x untuk menghampiri f(0,4). Berikan P₂(0,4).

f(x) = e^3xn = 2x = 0,4

P₂(0.4) =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−6 + (−3)/x + 6/x²)/(4 + 2/x + 9/x²)

Biarkan x → ∞

L = −6/4 = −1,5

Jawaban

L = −1,5

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 4,5

Penerapan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

9·e^3x/2

Substitusikan x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Jawaban

L = 4,5

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 2,718

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Substitusikan

f′(0,5) = 2,718·(0,75 + 0,25) = 2,718

Jawaban

f′(0,5) = 2,718

4.Turunan

Jawaban: x = −2

Turunan

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = −2

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 15: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

Jawaban

x = −2

5.Optimasi

Jawaban: r = 4,924 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

Samakan turunan dengan nol

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, sehingga ini minimum.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

Tinggi dan luas

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm

A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

Jawaban

r = 4,924 cm

Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.

6.Optimasi

Jawaban: q = 800 unit

Fungsi laba

P(q) = 20q − (1900 + 4q + 0,01q²) = −0,01q² + 16q − 1900

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −0,02 < 0, sehingga ini maksimum.

16 − 0,02q = 0 → q = 800

Laba maksimum

P = 16·800 − 0,01·800² − 1900 = €4500

Jawaban

q = 800

7.Integral

Jawaban: I = 2,773

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 4·ln x

Substitusikan batasnya

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2,773

Jawaban

I = 2,773

8.Integral

Jawaban: A = 1,333

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,01002 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−52k = 209/352

Selesaikan untuk k

k = ln(352/209)/52 = 0,01002 min⁻¹

Jawaban

k = 0,01002 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y_max = 14,56

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 10, r = −0,5 ± 2j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0,5A + 2B = 0 → B = −2,5

Puncak

t = π/2 = 1,571

y_max = 10·(1 + e^−0,5·π/2) = 14,56

Jawaban

y_max = 14,56

11.Barisan & deret

Jawaban: x = 1,667

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Koefisien

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3

Jari-jari

R = 0,3333

Selang

1,667 < x < 2,333

x = 1,667

Jawaban

x = 1,667

Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.

12.Barisan & deret

Jawaban: P₂(0.4) = 2,92

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Polinom Maclaurin

P₂(x) = 1 + 3x + 4,5x²

Substitusikan

P₂(0,4) = 1 + 1,2 + 0,72 = 2,92

Jawaban

P₂(0,4) = 2,92

Nilai eksaknya f(0,4) = 3,320117; galat 0,400117 mengecil jika Anda mengambil lebih banyak suku atau titik yang lebih dekat ke 0.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice