Soal latihan AP Calculus: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode: tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(4x² + 5x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 5x) − 2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (2x + 3)³. Tentukan f′(−1).

f(x) = (2x + 3)³x = −1

f′(−1) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3

x =

5.OptimasiSedang

Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari luas permukaan minimum S.

V = 500 cm³

S = cm²

6.OptimasiSulit

Sebuah teater menjual 775 tiket per pertunjukan seharga €25 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 25 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 25 lebih banyak). Cari harga tiket p yang memaksimumkan pendapatan.

775 × €2525 / €1

p = €

7.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

8.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 2x² dan y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 360 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 28 °C. Setelah 46 menit suhunya 160 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 360 °CT_a = 28 °CT(46) = 160 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + 0,5y = 9e^−3t dengan y(0) = 2. Cari y(1).

y′ + 0,5y = 9e^−3ty(0) = 2

y(1) =

11.Barisan & deretSedang

Carilah jumlah S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)).

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

12.Barisan & deretSulit

Carilah koefisien c₂ dari (x − 16)² dalam deret Taylor f(x) = √x di sekitar a = 16.

f(x) = √xa = 16k = 2

c₂ =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 1,25

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = 5x/(√(4x² + 5x) + 2x)

Bagi dengan x

f(x) = 5/(√(4 + 5/x) + 2)

Biarkan x → ∞

L = 5/(2 + 2) = 1,25

Jawaban

L = 1,25

2.Limit

Jawaban: L = 1,5

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

Substitusikan x = 0

L = 3/2 = 1,5

Jawaban

L = 1,5

3.Turunan

Jawaban: f′(−1) = 6

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 3·(2x + 3)²·2

Substitusikan

f′(−1) = 3·1²·2 = 6

Jawaban

f′(−1) = 6

4.Turunan

Jawaban: x = 5

Turunan

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 18: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

Jawaban

x = 5

5.Optimasi

Jawaban: S = 300 cm²

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 2000/x

Samakan turunan dengan nol

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Tinggi dan luas

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Jawaban

S = 300 cm²

Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.

6.Optimasi

Jawaban: p = 28 €

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 1400 − 25p

R(p) = 1400p − 25p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −50 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 1400/50 = €28

Pendapatan maksimum

n = 1400 − 25·28 = 700

R = 28·700 = €19600

Jawaban

p = €28

7.Integral

Jawaban: I = 0,7869

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Substitusikan batasnya

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Jawaban

I = 0,7869

8.Integral

Jawaban: A = 1,125

Titik potong

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Jawaban

A = 1,125

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,02005 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−46k = 132/332

Selesaikan untuk k

k = ln(332/132)/46 = 0,02005 min⁻¹

Jawaban

k = 0,02005 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 3,217

Faktor integrasi

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 9e^−2,5t

Penyelesaian umum

y = 9/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −3,6·e^−3t + C·e^−0,5t

Kondisi awal

2 = −3,6 + C → C = 5,6

Hitung nilainya

y(1) = −3,6·0,04979 + 5,6·0,6065 = 3,217

Jawaban

y(1) = 3,217

11.Barisan & deret

Jawaban: S = 1,833

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Jawaban

S = 1,833

12.Barisan & deret

Jawaban: c₂ = −0,001953

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Turunan f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

Koefisien

c₂ = −0,25·16^{1/2 − 2}/2! = −0,001953

c₂ = −0,001953

Jawaban

c₂ = −0,001953

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice