Soal latihan AP Calculus: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode: tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^2x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)^2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 4). Tentukan f′(−2).

f(x) = ln(x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 6x² + 9x. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ + 6x² + 9x

x =

5.OptimasiSedang

Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 108000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari luas permukaan minimum S.

V = 108000 cm³

S = cm²

6.OptimasiSulit

Sebuah perusahaan menjual q unit per minggu. Harga jualnya adalah p = 190 − 2q euro per unit, dan biayanya C(q) = 600 + 30q euro. Cari laba mingguan maksimum P.

p = 190 − 2qC = 600 + 30q

P = €

7.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀^π x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀^π x·cos x dx

I =

8.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 16y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 2. Cari y(1).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 1000 L air murni. Air garam dengan 0,2 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 10 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 70 menit?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

11.Barisan & deretSedang

Carilah jumlah S = Σ_k=1¹⁹ 4/(k(k + 1)).

a_k = 4/(k(k + 1))n = 19

S =

12.Barisan & deretSulit

f(x) = sin x dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 5 pada x = 1,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₅|.

f(x) = sin xn = 5x = 1,5M = 1

|R₅| =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 2,718

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 0,5/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·0,5 = 1

Batalkan logaritmanya

L = e¹ = 2,718

Jawaban

L = 2,718

2.Limit

Jawaban: L = 0,125

Penerapan pertama

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

0,25·e^0,5x/2

Substitusikan x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Jawaban

L = 0,125

3.Turunan

Jawaban: f′(−2) = −0,5

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Substitusikan

f′(−2) = −4/8 = −0,5

Jawaban

f′(−2) = −0,5

4.Turunan

Jawaban: x = −1

Turunan

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = −1

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Jawaban

x = −1

5.Optimasi

Jawaban: S = 10800 cm²

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 432000/x

Samakan turunan dengan nol

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Tinggi dan luas

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Jawaban

S = 10800 cm²

Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.

6.Optimasi

Jawaban: P = 2600 €

Fungsi laba

P(q) = (190 − 2q)·q − (600 + 30q) = −2q² + 160q − 600

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −4 < 0, sehingga ini maksimum.

q = 160/4 = 40

Harga dan laba

p = 190 − 2·40 = €110

P = 160·40 − 2·40² − 600 = €2600

Jawaban

P = €2600

7.Integral

Jawaban: I = −2

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Jawaban

I = −2

8.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,2198

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstanta

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 8 = 10

Hitung nilainya

y(1) = (2 + 10·1)·e⁻⁴ = 0,2198

Jawaban

y(1) = 0,2198

10.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 100,7 kg

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Susun persamaannya

dm/dt = 10·0,2 − (10/1000)·m = 2 − 0,01·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 200 + (−200)·e^−t/100

Substitusikan t

m(70) = 200 + (−200)·0,4966 = 100,7 kg

Jawaban

m = 100,7 kg

11.Barisan & deret

Jawaban: S = 3,8

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

4/(k(k + 1)) = 4·(1/k − 1/(k + 1))

Batal

S = 4·(1 − 1/20) = 3,8

Jawaban

S = 3,8

12.Barisan & deret

Jawaban: |R₅| = 0,01582

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas turunan

M = 1

Batas Lagrange

|R₅| ≤ 1·1,5⁶/6! = 0,01582

Jawaban

|R₅| = 0,01582

Galat sebenarnya lebih kecil: |f(1,5) − P₅(1,5)| = 0,003286.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice