Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 30, 56, 46, 35, 13, 32.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 92.

μ = 100σ = 8x = 92

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

σ =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 9 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,3, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 9p = 0,3k = 3

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,3759. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,3759

z =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 75% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3, 64) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3, 64)

e =

9.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 73 h, simpangan baku diketahui 10 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 73,5 h, simpangan baku diketahui 12 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 73 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 73,5 hσ₂ = 12 h99%

E = h

10.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,6 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,03?

p ≈ 0,6E = 0,0395%

n =

11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 207,2 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 207,2s = 15n = 25

t =

12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 25 dari 100 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 8 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 8n₂ = 80

z =

13.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “mahasiswa, bus”.

total baris = 84total kolom = 62N = 153

E =

14.Uji chi-kuadratSulit

Uji kecocokan chi-kuadrat memeriksa apakah frekuensi dalam 5 kategori mengikuti distribusi Poisson yang rata-ratanya diestimasi dari data yang sama. Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

k = 5

df =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,69

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 212/6 = 35,33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + 20,67² + 10,67² + (−0,3333)² + (−22,33)² + (−3,333)² = 1079

Simpangan baku

s = √(1079/5) = 14,69

Jawaban

s = 14,69

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Standarkan

z = (92 − 100)/8 = −1

Jawaban

z = −1

3.Peluang

Jawaban: σ = 0,9421

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,75

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,95

Variansi

Var(X) = 3,95 − 1,75² = 0,8875

σ = √0,8875 = 0,9421

Jawaban

σ = 0,9421

4.Peluang

Jawaban: P = 0,2668

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 3) = 84·0,3³·0,7⁶ = 84·0,027·0,1176 = 0,2668

Jawaban

P = 0,2668

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,49

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,6879 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,49

Jawaban

z = 0,49

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 182,7 cm

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,75

z dari tabel

z ≈ 0,67

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Jawaban

x = 182,7 cm

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9926

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 556/6 = 92,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3569

Koefisien determinasi

r² = 498²/(70·3569) = 0,9926

Jawaban

r² = 0,9926

Sekitar 99,26% variasi y dijelaskan oleh garis.

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,786

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 513/6 = 85,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345

Garis regresi

b = 345/70 = 4,929

a = 85,5 − 4,929·7 = 51

ŷ = 51 + 4,929·x

Nilai prediksi

ŷ = 51 + 4,929·3 = 65,79

Residu

e = 64 − 65,79 = −1,786

Jawaban

e = −1,786

Titik terletak di bawah garis.

9.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 5,628 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 73 − 73,5 = −0,5

Galat baku

SE = √(10²/30 + 12²/100) = 2,185

Margin galat

E = 2,576·2,185 = 5,628

Jawaban

E = 5,628 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,03² = 1024

Bulatkan ke atas

n = 1025

Jawaban

n = 1025

11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Statistik uji

t = (207,2 − 200)/3 = 2,4

Jawaban

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,584

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 8/80 = 0,1

p̂ = 33/180 = 0,1833

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,1833·0,8167·(1/100 + 1/80)) = 0,05804

Statistik uji

z = (0,25 − 0,1)/0,05804 = 2,584

Jawaban

z = 2,584

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: E = 34,04

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 84·62/153 = 34,04

Jawaban

E = 34,04

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: df = 3

Derajat kebebasan

df = 5 − 1 − 1 = 3

Jawaban

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice