Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 12, 13, 56, 49, 57, 11, 37.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 57,5?

μ = 50σ = 5x = 57,5

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 4

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 45 dan 67,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 67,5

P =

6.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 21.

n = 5x = 21

ŷ =

9.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 98 dan simpangan baku s = 9,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 98s = 9,599%t(11) = 3,106

E =

10.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 35. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 35E = 390%

n =

11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 20. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 97,88. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ ≠ 100. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 100σ = 20n = 100x̄ = 97,88H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2,5 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 18. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 90%δ = 2,5σ = 18z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1002 × 2

χ² =

14.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,05 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 21,21

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 235/7 = 33,57

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−21,57)² + (−20,57)² + 22,43² + 15,43² + 23,43² + (−22,57)² + 3,429² = 2700

Simpangan baku

s = √(2700/6) = 21,21

Jawaban

s = 21,21

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

3.Peluang

Jawaban: P = 0,1429

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Jawaban

P = 0,1429

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 5,214

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,75, Var(X) = 1,087, σ_X = 1,043

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1,043 = 5,214

Jawaban

σ_Y = 5,214

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·1,75 + 4 = 12,75.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,576

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Luas di antara

P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576

Jawaban

P = 0,576

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 189,5 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Jawaban

x = 189,51 cm

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9842

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 74/6 = 12,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 205,3

Koefisien korelasi

r = 118/√(70·205,3) = 0,9842

Jawaban

r = 0,9842

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 106,4

Rata-rata

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 504/5 = 100,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Garis regresi

b = 224/40 = 5,6

a = 100,8 − 5,6·20 = −11,2

ŷ = −11,2 + 5,6·x

Prediksi

ŷ = −11,2 + 5,6·21 = 106,4

Jawaban

ŷ = 106,4

9.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 8,518

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margin galat

E = 3,106·9,5/√12 = 8,518

Jawaban

E = 8,518

10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 369

Selesaikan untuk n

n = (1,645·35/3)² = 368,3

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 369

Jawaban

n = 369

11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,2891

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (97,88 − 100)/2 = −1,06

Luas ekor

Φ(1,06) = 0,8554

1 − Φ(1,06) = 0,1446

nilai p

p = 2·0,1446 = 0,2891

Jawaban

p = 0,2891

p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 445

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,282)·18/2,5)² = 444,1

Bulatkan ke atas

n = 445

Jawaban

n = 445

13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 24,24

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

obat baru: 60·55/100 = 33, 60·45/100 = 27

plasebo: 40·55/100 = 22, 40·45/100 = 18

Statistik chi-kuadrat

χ² = (45 − 33)²/33 + (15 − 27)²/27 + (10 − 22)²/22 + (30 − 18)²/18

χ² = 24,24

Jawaban

χ² = 24,24

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 2

Frekuensi harapan

lini 1: 20, 20

lini 2: 50, 50

lini 3: 50, 50

Statistik chi-kuadrat

χ² = (16 − 20)²/20 + (24 − 20)²/20 + (53 − 50)²/50 + (47 − 50)²/50 + (51 − 50)²/50 + (49 − 50)²/50

χ² = 2

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5,991

2 < 5,991

Jawaban

χ² = 2

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice