Soal latihan AP Statistics: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Uji chi-kuadrat

Statistik uji: χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 23, 40, 50, 45, 40, 11.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 88.

μ = 70σ = 12x = 88

z =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 7 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 7

P =

4.PeluangSulit

11 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 11p = 0,6

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8385. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8385

z =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin25%

x = poin

7.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 135Σx² = 91Σy² = 3089Σxy = 445

r =

8.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (24,5, 83) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(24,5, 83)

e =

9.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 42,5 dan simpangan baku s = 11. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 42,5s = 1195%t(20) = 2,086

batas atas =

10.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 24. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 24E = 190%

n =

11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 97,49 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,49s = 8n = 49

t =

12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 100 melawan H₁: μ > 100 dilakukan pada α = 0,01 dengan sampel berukuran 36; simpangan bakunya diketahui 6. Kenyataannya, rata-ratanya 102,3. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.

μ₀ = 100μ = 102,3σ = 6n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Uji chi-kuadratSedang

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1202 × 2

χ² =

14.Uji chi-kuadratSulit

Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,8

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 209/6 = 34,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−11,83)² + 5,167² + 15,17² + 10,17² + 5,167² + (−23,83)² = 1095

Simpangan baku

s = √(1095/5) = 14,8

Jawaban

s = 14,8

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,5

Standarkan

z = (88 − 70)/12 = 1,5

Jawaban

z = 1,5

3.Peluang

Jawaban: P = 0,7209

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Jawaban

P = 0,7209

4.Peluang

Jawaban: P = 0,000734

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Jumlahkan

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Jawaban

P = 0,000734

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,4

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,8385)/2 = 0,9192

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9192 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,40

Jawaban

z = 1,40

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 90 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 0,67·15 = 90 poin

Jawaban

x = 90 poin

7.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,916

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 445 − 21·135/6 = −27,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3089 − 135²/6 = 51,5

Koefisien korelasi

r = −27,5/√(17,5·51,5) = −0,916

Jawaban

r = −0,916

8.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,15

Rata-rata

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 375/5 = 75

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351

Garis regresi

b = 351/90 = 3,9

a = 75 − 3,9·23 = −14,7

ŷ = −14,7 + 3,9·x

Nilai prediksi

ŷ = −14,7 + 3,9·24,5 = 80,85

Residu

e = 83 − 80,85 = 2,15

Jawaban

e = 2,15

Titik terletak di atas garis.

9.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 47,51

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margin galat

E = 2,086·11/√21 = 5,007

Selang

42,5 ± 5,007 → [37,49, 47,51]

Jawaban

batas atas = 47,51

10.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1559

Selesaikan untuk n

n = (1,645·24/1)² = 1559

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1559

Jawaban

n = 1559

11.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,196

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistik uji

t = (97,49 − 100)/1,143 = −2,196

Jawaban

t = −2,196

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

12.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: 1 − β = 48,96 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 100 + 2,326·1 = 102,3

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (102,3 − 102,3)/1 = 0,026

Daya

kuasa = P(Z > 0,026) = 48,96%

1 − β = 48,96%

Jawaban

1 − β = 48,96%

13.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 18,91

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

perokok: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32

bukan perokok: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16

Statistik chi-kuadrat

χ² = (59 − 48)²/48 + (21 − 32)²/32 + (13 − 24)²/24 + (27 − 16)²/16

χ² = 18,91

Jawaban

χ² = 18,91

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) ditolak.

14.Uji chi-kuadrat

Jawaban: χ² = 2,143

Frekuensi harapan

usia 18–30: 28, 12

usia 31–50: 28, 12

usia 51+: 56, 24

Statistik chi-kuadrat

χ² = (25 − 28)²/28 + (15 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12 + (56 − 56)²/56 + (24 − 24)²/24

χ² = 2,143

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,143 < 9,210

Jawaban

χ² = 2,143

χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice