Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode: tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−3x² + 3x + 2)/(3x² + 4x + 2).

f(x) = (−3x² + 3x + 2)/(3x² + 4x + 2)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^−0,5x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 10,5x² + 36x. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x

x =

5.OptimasiSedang

Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 108000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari tinggi h.

V = 108000 cm³

h = cm

6.OptimasiSulit

Sebuah teater menjual 775 tiket per pertunjukan seharga €25 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 25 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 25 lebih banyak). Cari harga tiket p yang memaksimumkan pendapatan.

775 × €2525 / €1

p = €

7.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

8.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²

A =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−3 + 3/x + 2/x²)/(3 + 4/x + 2/x²)

Biarkan x → ∞

L = −3/3 = −1

Jawaban

L = −1

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 0,5

Penerapan pertama

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

1·e^−x/2

Substitusikan x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Jawaban

L = 0,5

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,6815

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,125)) = 0,6815

Jawaban

f′(0,5) = 0,6815

4.Turunan

Jawaban: x = 3

Turunan

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 4

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

Jawaban

x = 3

5.Optimasi

Jawaban: h = 30 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 432000/x

Samakan turunan dengan nol

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Tinggi dan luas

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Jawaban

h = 30 cm

Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.

6.Optimasi

Jawaban: p = 28 €

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 1400 − 25p

R(p) = 1400p − 25p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −50 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 1400/50 = €28

Pendapatan maksimum

n = 1400 − 25·28 = 700

R = 28·700 = €19600

Jawaban

p = €28

7.Integral

Jawaban: I = 0,6321

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−x/(−1)

Substitusikan batasnya

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Jawaban

I = 0,6321

8.Integral

Jawaban: A = 1,333

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1