Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Cari limit L = limx→∞ (1 + 2/x)x. Berikan nilai desimal.
Cari limit L = limx→0 (1 − cos 5x)/(x²), dengan x dalam radian.
Misalkan f(x) = (2x − 1)5. Tentukan f′(2).
Misalkan f(x) = x3 + 1,5x2 − 6x − 2. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.
Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 750 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari jari-jari r yang memakai bahan paling sedikit.
Sebuah perusahaan kecil menjual produknya dengan harga pasar tetap €25 per unit. Biaya produksi q unit adalah C(q) = 1100 + 4q + 0,05q² euro. Cari produksi q yang memaksimumkan laba.
Daerah di bawah y = 0,5x dari x = 0 sampai x = 1 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).
Tentukan luas A daerah antara parabola y = 9 − x² dan sumbu x.
Jawaban: L = 7,389
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.
Jawaban: L = 12,5
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Jawaban: f′(2) = 810
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
Jawaban: x = 1
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
f″(x) = 6x + 3: negatif di maksimum, positif di minimum.
Jawaban: r = 4,924 cm
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, sehingga ini minimum.
Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.
Jawaban: q = 210 unit
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
P″(q) = −0,1 < 0, sehingga ini maksimum.
Jawaban: V = 0,2618
Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.
Periksa: kerucut berjari-jari 0,5 dan tinggi 1 memiliki (1/3)πr²h = 0,2618.
Jawaban: A = 36
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1