Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (3x3 − 6x − 1)/(5x3 + x + 2).

f(x) = (3x3 − 6x − 1)/(5x3 + x + 2)x → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = 0,5

Misalkan f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.TurunanSulit
xyx = 2

Garis singgung f(x) = −x2 − x di x = 2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x2 − xx = 2
b =
5.OptimasiSedang
sisi jalan: €15/m€10/myyx

Sebidang tanah persegi panjang seluas 600 m² dipagari pada keempat sisinya. Sisi di sepanjang jalan, sepanjang x, berbiaya €15 per meter; tiga sisi lainnya berbiaya €10 per meter. Cari biaya total minimum C.

A = 600 m²€15/m€10/m
C = €
6.OptimasiSulit
qP(q)maksimum

Sebuah perusahaan kecil menjual produknya dengan harga pasar tetap €35 per unit. Biaya produksi q unit adalah C(q) = 100 + 24q + 0,1q² euro. Cari produksi q yang memaksimumkan laba.

p = €35C = 100 + 24q + 0,1q²
q = unit
7.IntegralSedang
xy13y = x ln x

Hitung I = ∫₁3 x·ln x dx.

∫₁3 x ln x dx
I =
8.IntegralSulit
xy4y = 4xy = x²

Daerah di antara garis y = 4x dan parabola y = x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 4xy = x²
V =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,6

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(3 + (−6)/x2 + (−1)/x3)/(5 + 1/x2 + 2/x3)

Biarkan x → ∞

L = 3/5 = 0,6

Jawaban

L = 0,6

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 1,667

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Aturan L'Hôpital

L = limx→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

Substitusikan x = 0

L = 5/3 = 1,667

Jawaban

L = 1,667
3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 1,382

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Jawaban

f′(0,5) = 1,382
4.Turunan

Jawaban: b = 4

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Titik dan kemiringan

f(2) = −6
f′(x) = −2x − 1 → f′(2) = −5

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − (−5)·2 = 4

Jawaban

b = 4
5.Optimasi

Jawaban: C = 1095 €

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Biaya sebagai fungsi x

C(x) = 25x + 12000/x

Samakan turunan dengan nol

C″(x) = 24000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x = √(12000/25) = 21,91 m
y = 600/21,91 = 27,39 m

Biaya minimum

C = 25·21,91 + 12000/21,91 = €1095

Jawaban

C = €1095
6.Optimasi

Jawaban: q = 55 unit

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Fungsi laba

P(q) = 35q − (100 + 24q + 0,1q²) = −0,1q2 + 11q − 100

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −0,2 < 0, sehingga ini maksimum.

11 − 0,2q = 0 → q = 55

Laba maksimum

P = 11·55 − 0,1·55² − 100 = €202,5

Jawaban

q = 55
7.Integral

Jawaban: I = 2,944

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Jawaban

I = 2,944
8.Integral

Jawaban: V = 428,9

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Metode cincin (washer)

V = π∫₀4 ((4x)² − (1x²)²) dx

Integralkan

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Jawaban

V = 428,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1