Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Cari limit L = limx→∞ (1 + 3/x)2x. Berikan nilai desimal.
Cari limit L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(x), dengan x dalam radian.
Misalkan f(x) = x3·e2x. Tentukan f′(1,5).
Garis singgung f(x) = 3x2 + 3 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.
Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 32000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari luas permukaan minimum S.
Sebuah teater menjual 650 tiket per pertunjukan seharga €12 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 25 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 25 lebih banyak). Cari harga tiket p yang memaksimumkan pendapatan.
Hitung I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.
Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x2 dan y = 4x.
Jawaban: L = 403,4
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.
Jawaban: L = 4
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Jawaban: f′(1.5) = 271,2
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
Jawaban: b = −24
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
Jawaban: S = 4800 cm²
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, sehingga ini minimum.
Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.
Jawaban: p = 19 €
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
R″(p) = −50 < 0, sehingga ini maksimum.
Jawaban: I = 41,33
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
Jawaban: A = 42,67
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1