Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (1 + 2/x)3x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 2/x)3xx → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = 1

Misalkan f(x) = x·e0,5x. Tentukan f′(1).

f(x) = x·e0,5xx = 1
f′(1) =
4.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x + 5. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x + 5
x =
5.OptimasiSedang
rh

Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 330 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari jari-jari r yang memakai bahan paling sedikit.

V = 330 cm³
r = cm
6.OptimasiSulit
qP(q)maksimum

Sebuah perusahaan kecil menjual produknya dengan harga pasar tetap €60 per unit. Biaya produksi q unit adalah C(q) = 300 + 36q + 0,25q² euro. Cari produksi q yang memaksimumkan laba.

p = €60C = 300 + 36q + 0,25q²
q = unit
7.IntegralSedang
xy01

Hitung I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
8.IntegralSulit
xy2,5y = 5xy = 2x²

Daerah di antara garis y = 5x dan parabola y = 2x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 5xy = 2x²
V =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 403,4

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Batalkan logaritmanya

L = e6 = 403,4

Jawaban

L = 403,4
2.Limit

Jawaban: L = 4,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Penerapan pertama

(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

9·e3x/2

Substitusikan x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Jawaban

L = 4,5
3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 2,473

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(1 + 0,5·x)

Substitusikan

f′(1) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

Jawaban

f′(1) = 2,473
4.Turunan

Jawaban: x = −4

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −4 atau x = −1

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 15: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −4

Jawaban

x = −4
5.Optimasi

Jawaban: r = 3,745 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 330/(πr²)
A(r) = 2πr² + 660/r

Samakan turunan dengan nol

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, sehingga ini minimum.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Tinggi dan luas

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm
A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Jawaban

r = 3,745 cm

Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.

6.Optimasi

Jawaban: q = 48 unit

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Fungsi laba

P(q) = 60q − (300 + 36q + 0,25q²) = −0,25q2 + 24q − 300

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −0,5 < 0, sehingga ini maksimum.

24 − 0,5q = 0 → q = 48

Laba maksimum

P = 24·48 − 0,25·48² − 300 = €276

Jawaban

q = 48
7.Integral

Jawaban: I = 3,75

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75

Jawaban

I = 3,75
8.Integral

Jawaban: V = 163,6

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Metode cincin (washer)

V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Integralkan

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Jawaban

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1