Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (1 + 0,5/x)2x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)2xx → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 ln(1 + x)/sin(4x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = 1

Misalkan f(x) = x·e0,5x. Tentukan f′(1).

f(x) = x·e0,5xx = 1
f′(1) =
4.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 2. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 2
x =
5.OptimasiSedang
sisi jalan: €25/m€10/myyx

Sebidang tanah persegi panjang seluas 200 m² dipagari pada keempat sisinya. Sisi di sepanjang jalan, sepanjang x, berbiaya €25 per meter; tiga sisi lainnya berbiaya €10 per meter. Cari panjang x sisi jalan yang meminimumkan biaya.

A = 200 m²€25/m€10/m
x = m
6.OptimasiSulit
p (€)R(p)15sekarang

Sebuah teater menjual 575 tiket per pertunjukan seharga €15 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 25 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 25 lebih banyak). Cari harga tiket p yang memaksimumkan pendapatan.

575 × €1525 / €1
p = €
7.IntegralSedang
xyπy = x·cos x

Hitung I = ∫₀π x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀π x·cos x dx
I =
8.IntegralSulit
xy2y = 6xy = 3x²

Daerah di antara garis y = 6x dan parabola y = 3x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 6xy = 3x²
V =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 2,718

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 0,5/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·0,5 = 1

Batalkan logaritmanya

L = e1 = 2,718

Jawaban

L = 2,718
2.Limit

Jawaban: L = 0,25

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Aturan L'Hôpital

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

Substitusikan x = 0

L = 1/4 = 0,25

Jawaban

L = 0,25
3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 2,473

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(1 + 0,5·x)

Substitusikan

f′(1) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

Jawaban

f′(1) = 2,473
4.Turunan

Jawaban: x = 3

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 − 30x + 63 = 3·(x2 − 10x + 21)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 7

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 30: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −12, f″(7) = 12
x = 3

Jawaban

x = 3
5.Optimasi

Jawaban: x = 10,69 m

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Biaya sebagai fungsi x

C(x) = 35x + 4000/x

Samakan turunan dengan nol

C″(x) = 8000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x = √(4000/35) = 10,69 m
y = 200/10,69 = 18,71 m

Biaya minimum

C = 35·10,69 + 4000/10,69 = €748,3

Jawaban

x = 10,69 m
6.Optimasi

Jawaban: p = 19 €

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 950 − 25p
R(p) = 950p − 25p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −50 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 950/50 = €19

Pendapatan maksimum

n = 950 − 25·19 = 475
R = 19·475 = €9025

Jawaban

p = €19
7.Integral

Jawaban: I = −2

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Jawaban

I = −2
8.Integral

Jawaban: V = 120,6

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Metode cincin (washer)

V = π∫₀2 ((6x)² − (3x²)²) dx

Integralkan

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Jawaban

V = 120,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1