Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (1 + 0,5/x)x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)xx → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = 0

Misalkan f(x) = (4x − 1)4. Tentukan f′(0).

f(x) = (4x − 1)4x = 0
f′(0) =
4.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 − 3x2 − 9x − 1. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x3 − 3x2 − 9x − 1
x =
5.OptimasiSedang
rh

Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 355 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari tinggi h kaleng yang memakai bahan paling sedikit.

V = 355 cm³
h = cm
6.OptimasiSulit
p (€)R(p)15sekarang

Sebuah teater menjual 680 tiket per pertunjukan seharga €15 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 20 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 20 lebih banyak). Cari pendapatan maksimum R per pertunjukan.

680 × €1520 / €1
R = €
7.IntegralSedang
xy1y = x·cos x

Hitung I = ∫₀1 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀1 x·cos x dx
I =
8.IntegralSulit
xy−22

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²
A =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 1,649

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Batalkan logaritmanya

L = e0,5 = 1,649

Jawaban

L = 1,649
2.Limit

Jawaban: L = 0,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Penerapan pertama

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Penerapan kedua

4·cos 2x/8

Substitusikan x = 0

L = 4/8 = 0,5

Jawaban

L = 0,5
3.Turunan

Jawaban: f′(0) = −16

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 4·(4x − 1)3·4

Substitusikan

f′(0) = 4·(−1)3·4 = −16

Jawaban

f′(0) = −16
4.Turunan

Jawaban: x = −1

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3·(x2 − 2x − 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 3

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 6: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12
x = −1

Jawaban

x = −1
5.Optimasi

Jawaban: h = 7,674 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r

Samakan turunan dengan nol

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, sehingga ini minimum.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Tinggi dan luas

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm
A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Jawaban

h = 7,674 cm

Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.

6.Optimasi

Jawaban: R = 12005 €

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 980 − 20p
R(p) = 980p − 20p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −40 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 980/40 = €24,5

Pendapatan maksimum

n = 980 − 20·24,5 = 490
R = 24,5·490 = €12005

Jawaban

R = €12005
7.Integral

Jawaban: I = 0,3818

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Jawaban

I = 0,3818
8.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1