Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (1 + 0,5/x)x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 0,5/x)xx → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = −2

Misalkan f(x) = ln(3x2 + 2). Tentukan f′(−2).

f(x) = ln(3x2 + 2)x = −2
f′(−2) =
4.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x
x =
5.OptimasiSedang
xhxtanpa tutup

Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 62500 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari tinggi h.

V = 62500 cm³
h = cm
6.OptimasiSulit
qP(q)maksimum

Sebuah perusahaan kecil menjual produknya dengan harga pasar tetap €75 per unit. Biaya produksi q unit adalah C(q) = 1100 + 60q + 0,01q² euro. Cari produksi q yang memaksimumkan laba.

p = €75C = 1100 + 60q + 0,01q²
q = unit
7.IntegralSedang
xy1y = 3x

Daerah di bawah y = 3x dari x = 0 sampai x = 1 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1
V =
8.IntegralSulit
xy−11

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²
A =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 1,649

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Batalkan logaritmanya

L = e0,5 = 1,649

Jawaban

L = 1,649
2.Limit

Jawaban: L = 2,25

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Penerapan pertama

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/4

Substitusikan x = 0

L = 9/4 = 2,25

Jawaban

L = 2,25
3.Turunan

Jawaban: f′(−2) = −0,8571

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x2 + 2)

Substitusikan

f′(−2) = −12/14 = −0,8571

Jawaban

f′(−2) = −0,8571
4.Turunan

Jawaban: x = 3

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 3

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 15: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 3

Jawaban

x = 3
5.Optimasi

Jawaban: h = 25 cm

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 250000/x

Samakan turunan dengan nol

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Tinggi dan luas

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Jawaban

h = 25 cm

Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.

6.Optimasi

Jawaban: q = 750 unit

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Fungsi laba

P(q) = 75q − (1100 + 60q + 0,01q²) = −0,01q2 + 15q − 1100

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −0,02 < 0, sehingga ini maksimum.

15 − 0,02q = 0 → q = 750

Laba maksimum

P = 15·750 − 0,01·750² − 1100 = €4525

Jawaban

q = 750
7.Integral

Jawaban: V = 9,425

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀1 9x² dx

Integralkan

V = π·9·1³/3 = 9,425

Jawaban

V = 9,425

Periksa: kerucut berjari-jari 3 dan tinggi 1 memiliki (1/3)πr²h = 9,425.

8.Integral

Jawaban: A = 1,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1