Kalkulus 1: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Optimasi

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

2Soal latihan

1.LimitSedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (√(x2 + 7x) − x).

f(x) = √(x2 + 7x) − xx → ∞
L =
2.LimitSulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 (1 − cos 5x)/(2x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0
L =
3.TurunanSedang
xyx = 1

Misalkan f(x) = (2x − 3)5. Tentukan f′(1).

f(x) = (2x − 3)5x = 1
f′(1) =
4.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 + 4,5x2 − 3. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x3 + 4,5x2 − 3
x =
5.OptimasiSedang
xhxtanpa tutup

Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) beralas persegi harus memuat 108000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, yaitu luas terkecil dari alas ditambah keempat sisinya. Cari luas permukaan minimum S.

V = 108000 cm³
S = cm²
6.OptimasiSulit
qP(q)maksimum

Sebuah perusahaan menjual q unit per minggu. Harga jualnya adalah p = 100 − 0,25q euro per unit, dan biayanya C(q) = 500 + 60q euro. Cari harga p yang memaksimumkan laba.

p = 100 − 0,25qC = 500 + 60q
p = €
7.IntegralSedang
xy14y = x ln x

Hitung I = ∫₁4 x·ln x dx.

∫₁4 x ln x dx
I =
8.IntegralSulit
xy1y = 3xy = 3x²

Daerah di antara garis y = 3x dan parabola y = 3x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 3xy = 3x²
V =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 3,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = 7x/(√(x2 + 7x) + x)

Bagi dengan x

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 7/(1 + 1) = 3,5

Jawaban

L = 3,5
2.Limit

Jawaban: L = 6,25

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Penerapan pertama

5·sin 5x/(4x) → 0/0

Penerapan kedua

25·cos 5x/4

Substitusikan x = 0

L = 25/4 = 6,25

Jawaban

L = 6,25
3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 10

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(2x − 3)4·2

Substitusikan

f′(1) = 5·(−1)4·2 = 10

Jawaban

f′(1) = 10
4.Turunan

Jawaban: x = −3

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 + 9x = 3·(x2 + 3x)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = 0

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 9: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−3) = −9, f″(0) = 9
x = −3

Jawaban

x = −3
5.Optimasi

Jawaban: S = 10800 cm²

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 432000/x

Samakan turunan dengan nol

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, sehingga ini minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Tinggi dan luas

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Jawaban

S = 10800 cm²

Kotak terbuka terbaik tingginya setengah dari lebarnya.

6.Optimasi

Jawaban: p = 80 €

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Fungsi laba

P(q) = (100 − 0,25q)·q − (500 + 60q) = −0,25q2 + 40q − 500

Samakan turunan dengan nol

P″(q) = −0,5 < 0, sehingga ini maksimum.

q = 40/0,5 = 80

Harga dan laba

p = 100 − 0,25·80 = €80
P = 40·80 − 0,25·80² − 500 = €1100

Jawaban

p = €80
7.Integral

Jawaban: I = 7,34

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Jawaban

I = 7,34
8.Integral

Jawaban: V = 3,77

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Metode cincin (washer)

V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx

Integralkan

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Jawaban

V = 3,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1