Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Cari limit L = limx→∞ (2x2 + 5x − 6)/(x2 + 6x + 3).
Cari limit L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), dengan x dalam radian.
Misalkan f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(1,5).
Misalkan f(x) = x3 + 4,5x2 + 6x − 5. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.
Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 400 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari jari-jari r yang memakai bahan paling sedikit.
Sebuah perusahaan menjual q unit per minggu. Harga jualnya adalah p = 130 − 0,25q euro per unit, dan biayanya C(q) = 2500 + 60q euro. Cari laba mingguan maksimum P.
Hitung I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx.
Hitung I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.
Jawaban: L = 2
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.
Jawaban: L = 2,25
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Jawaban: f′(1.5) = −2,829
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
Jawaban: x = −2
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
f″(x) = 6x + 9: negatif di maksimum, positif di minimum.
Jawaban: r = 3,993 cm
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, sehingga ini minimum.
Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.
Jawaban: P = 2400 €
Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.
P″(q) = −0,5 < 0, sehingga ini maksimum.
Jawaban: I = 2,333
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
Jawaban: I = 0,0609
Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1