Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang
xy15

Hitung I = ∫15 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]
I =
2.IntegralSulit
xyy = 2x2​y = 2x

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 dan y = 2x.

y = 2x2y = 2x
A =
3.Barisan & deretSedang
kSn​12345678910S = ?

Carilah jumlah S = Σk=1∞ 6/(k(k + 1)).

ak = 6/(k(k + 1))
S =
4.Barisan & deretSulit

f(x) = cos x dihampiri pada x = 1,5 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.

f(x) = cos xx = 1,5M = 1ε = 0,0001
n =
5.Kalkulus multivariabelSedang
xy22∇fP

Untuk f(x, y) = y·exy, carilah laju perubahan maksimum f di titik (2, 2), yaitu |∇f|.

f(x, y) = y·exyP = (2, 2)
|∇f| =
6.Kalkulus multivariabelSulit
xyx = 4y = 3x412

Hitunglah I = ∬T (4x + 3y) dA pada segitiga T yang dibatasi oleh y = 0, x = 4, dan y = 3x.

f = 4x + 3y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3x
I =
7.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)25Ta​17 °C25 °C

Sekaleng minuman soda bersuhu 3 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 29 °C. Setelah 25 menit suhunya 17 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 25 °C?

T0 = 3 °CTa = 29 °CT(25) = 17 °CT = 25 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
xy12(1, 2)y(2) = ?

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 4x untuk x > 0, dengan y(1) = 2. Cari y(2).

y′ + y/x = 4xy(1) = 2
y(2) =

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 8,047

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 5·ln x

Substitusikan batasnya

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Jawaban

I = 8,047
2.Integral

Jawaban: A = 0,3333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

2x2 = 2x → x = 0, x = 1

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333

Jawaban

A = 0,3333
3.Barisan & deret

Jawaban: S = 6

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

Batal

S = 6·1 = 6

Jawaban

S = 6
4.Barisan & deret

Jawaban: n = 9

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

n(n + 1)!batas011,5121,125260,56253240,210941200,0632857200,01582650400,003397403200,000635683628800,0001059936288001,589 × 10⁻⁵

Batas untuk n yang membesar

n = 8: 0,0001059 ≥ 0,0001
n = 9: 1,589 × 10⁻⁵ < 0,0001

Derajat terkecil

n = 9

Jawaban

n = 9
5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: |∇f| = 349,6

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Turunan parsial

fx = y²exy → fx(2, 2) = 218,4
fy = exy(1 + xy) → fy(2, 2) = 273

Panjang gradien

|∇f| = √(218,4² + 273²) = 349,6

Jawaban

|∇f| = 349,6
6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: I = 544

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Limit

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3x

Integral dalam

∫03x (4x + 3y) dy = 4x·3x + 3·(3x)²/2 = 25,5x²

Integral luar

I = 25,5·4³/3 = 544

Jawaban

I = 544
7.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 60,52 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(-26/-12)/25 = 0,03093 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(-26/(−4))/0,03093 = 60,52 min

Jawaban

t = 60,52 min
8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 5,667

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e∫1/x dx = x1

Integralkan

(x1y)′ = 4x2 → x1y = 4x3/3 + C

Kondisi awal

2 = 4/3 + C → C = 0,6667

Hitung nilainya

y(2) = (4·23/3 + 0,6667)/21 = 5,667

Jawaban

y(2) = 5,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2