Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang
xy01

Hitung I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
2.IntegralSulit
xyy = 0,5x2​y = 3x

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x2 dan y = 3x.

y = 0,5x2y = 3x
A =
3.Barisan & deretSedang
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

Terapkan uji rasio pada Σk=1∞ k!/kᵏ. Carilah L = lim |ak+1/ak|.

ak = k!/kᵏ
L =
4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri pada x = 1 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 3, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Kalkulus multivariabelSedang
xy024−202vP

Untuk f(x, y) = ln(x² + 2y²), carilah turunan berarah Duf di (2, 0,5) ke arah v = (3, −3).

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (2, 0,5)v = (3, −3)
Duf =
6.Kalkulus multivariabelSulit
xy−505−2024AB

Titik-titik bertanda adalah titik kritis f(x, y) = x³ − 27x + y² − 4y. Klik minimum lokal.

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 4y
  1. 1A (−3, 2)
  2. 2B (3, 2)
7.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)8Ta​T = ?

Sekaleng minuman soda bersuhu 5 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 24 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,07 min⁻¹, cari suhunya T setelah 8 menit.

T0 = 5 °CTa = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 8 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
t (min)m (kg)t = ?35 kg

Sebuah tangki berisi 1000 L air murni. Air garam dengan 0,05 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 35 kg garam?

V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 1,5

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1,5

Jawaban

I = 1,5
2.Integral

Jawaban: A = 18

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

0,5x2 = 3x → x = 0, x = 6

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [1,5x2 − 0,1667x3]06 = 18

Jawaban

A = 18
3.Barisan & deret

Jawaban: L = 0,3679

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Rasio suku-suku berurutan

|ak+1/ak| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

Kesimpulan

L = 0,3679 < 1

Jawaban

L = 0,3679

L < 1, jadi deret konvergen.

4.Barisan & deret

Jawaban: n = 8

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

n(n + 1)!batas013121,5260,53240,12541200,02557200,004167650400,00059527403207,44 × 10⁻⁵83628808,267 × 10⁻⁶

Batas untuk n yang membesar

n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Derajat terkecil

n = 8

Jawaban

n = 8
5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: Duf = 0,3143

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Gradien di titik itu

fx = 2x/(x² + 2y²) → fx(2, 0,5) = 0,8889
fy = 4y/(x² + 2y²) → fy(2, 0,5) = 0,4444

Vektor satuan

|v| = √(3² + (−3)²) = 4,243
u = (0,7071, −0,7071)

Hasil kali titik

Duf = 0,8889·0,7071 + 0,4444·(−0,7071) = 0,3143

Jawaban

Duf = 0,3143
6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: B (3, 2)

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik kritis

Selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama.

fx = (3x² − 27) = 0
fy = (2y − 4) = 0
(3, 2), (−3, 2)

Uji turunan kedua

(3, 2): fxx = 18, fyy = 2, fxy = 0, D = 36 → minimum lokal
(−3, 2): fxx = −18, fyy = 2, fxy = 0, D = −36 → titik pelana

Titiknya

B (3, 2): minimum lokal

Jawaban

B (3, 2)
7.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 13,15 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 24 + (−19)·e−0,07t

Substitusikan t

T(8) = 24 + (−19)·0,5712 = 13,15 °C

Jawaban

T = 13,15 °C
8.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 60,2 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Hasil

m(t) = 50 + (−50)·e−t/50

Selesaikan untuk t

e−t/50 = (50 − 35)/(50 − 0) = 0,3
t = 50·ln(3,333) = 60,2 min

Jawaban

t = 60,2 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2