Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang
xy26

Hitung I = ∫26 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 6]
I =
2.IntegralSulit
xy−11

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²
A =
3.Barisan & deretSedang
xx₀ = −2??R

Deret pangkat Σk=1∞ (x + 2)ᵏ/(k²·3ᵏ) konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = −2. Carilah ujung kanan x interval itu.

Σ (x + 2)ᵏ/(k²·3ᵏ)x₀ = −2
x =
4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 5 pada x = −0,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₅|.

f(x) = eˣn = 5x = −0,5M = 1
|R₅| =
5.Kalkulus multivariabelSedang
xy−12∇fP

Untuk f(x, y) = 5 sin(3x − y), carilah laju perubahan maksimum f di titik (−1, 2), yaitu |∇f|.

f(x, y) = 5 sin(3x − y)P = (−1, 2)
|∇f| =
6.Kalkulus multivariabelSulit
xy2

Pakai koordinat kutub untuk menghitung I = ∬R e−(x² + y²) dA, dengan R adalah cakram x² + y² ≤ 4.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)12Ta​57 °C

Secangkir kopi bersuhu 87 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 20 °C. Setelah 12 menit suhunya 57 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T0 = 87 °CTa = 20 °CT(12) = 57 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan diferensialSulit
t (min)m (kg)15 minm = ?

Sebuah tangki berisi 200 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 15 menit?

V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 3,296

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 3·ln x

Substitusikan batasnya

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3,296

Jawaban

I = 3,296
2.Integral

Jawaban: A = 1,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333
3.Barisan & deret

Jawaban: x = 1

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Koefisien

ck/ck+1 = 3·((k + 1)/k)² → 3

Jari-jari

R = 3

Selang

−5 < x < 1
x = 1

Jawaban

x = 1

Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.

4.Barisan & deret

Jawaban: |R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas turunan

M = 1

Batas Lagrange

|R₅| ≤ 1·0,5⁶/6! = 2,17 × 10⁻⁵

Jawaban

|R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

Galat sebenarnya lebih kecil: |f(−0,5) − P₅(−0,5)| = 2,024 × 10⁻⁵.

5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: |∇f| = 4,485

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Turunan parsial

fx = 15 cos(3x − y) → fx(−1, 2) = 4,255
fy = −5 cos(3x − y) → fy(−1, 2) = −1,418

Panjang gradien

|∇f| = √(4,255² + (−1,418)²) = 4,485

Jawaban

|∇f| = 4,485
6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: I = 3,084

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Bentuk kutub

I = ∫02π ∫02 e−r²·r dr dθ

Integralkan

∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 3,084

Jawaban

I = 3,084
7.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04948 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e−12k = 37/67

Selesaikan untuk k

k = ln(67/37)/12 = 0,04948 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04948 min⁻¹
8.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 41,07 kg

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Susun persamaannya

dm/dt = 20·0,25 − (20/200)·m = 5 − 0,1·m

Selesaikan

Faktor integrasinya ert/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 50 + (−40)·e−t/10

Substitusikan t

m(15) = 50 + (−40)·0,2231 = 41,07 kg

Jawaban

m = 41,07 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2