Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang
xy2y = x·cos x

Hitung I = ∫₀2 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀2 x·cos x dx
I =
2.IntegralSulit
xy−22

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²
A =
3.Barisan & deretSedang
AΣ k!/2ᵏk = 1 … ∞BΣ (7/4)ᵏk = 1 … ∞CΣ 2/k⁴k = 1 … ∞DΣ ln k / kk = 1 … ∞

Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.

A: Σ k!/2ᵏB: Σ (7/4)ᵏC: Σ 2/k⁴D: Σ ln k / k
  1. 1A: Σ k!/2ᵏ
  2. 2B: Σ (7/4)ᵏ
  3. 3C: Σ 2/k⁴
  4. 4D: Σ ln k / k
4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri pada x = 1 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 3, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Kalkulus multivariabelSedang

z = −3x²y² + x² + 5y³ − 3xy dengan x = −3t + 1 dan y = −2t². Pakai aturan rantai untuk mencari dz/dt pada t = 0.

z = −3x²y² + x² + 5y³ − 3xyx = −3t + 1y = −2t²t = 0
dz/dt =
6.Kalkulus multivariabelSulit
xyx = 1,2y = x1,2

Integral I = ∫01,2 ∫y1,2 cos(x²) dx dy tidak dapat dikerjakan dengan urutan ini. Balik urutan integrasi dan hitunglah.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,2
I =
7.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)19Ta​201 °C129 °C

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 340 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 20 °C. Setelah 19 menit suhunya 201 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 129 °C?

T0 = 340 °CTa = 20 °CT(19) = 201 °CT = 129 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
tyK = 10y(1) = ?

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 25,25y = 252,5 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 25,25y = 252,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 0,4024

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Jawaban

I = 0,4024
2.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67
3.Barisan & deret

Jawaban: C: Σ 2/k⁴

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Uji setiap deret

A: Σ k!/2ᵏ → Uji rasio: L = lim (k + 1)/2 = ∞, divergen.
B: Σ (7/4)ᵏ → Geometri dengan r = 7/4 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
C: Σ 2/k⁴ → Deret-p dengan p = 4 > 1: konvergen.
D: Σ ln k / k → Lebih besar dari 1/k untuk k ≥ 3: divergen menurut perbandingan dengan deret harmonik.

Jawabannya

C: Σ 2/k⁴

Jawaban

C: Σ 2/k⁴
4.Barisan & deret

Jawaban: n = 8

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

n(n + 1)!batas013121,5260,53240,12541200,02557200,004167650400,00059527403207,44 × 10⁻⁵83628808,267 × 10⁻⁶

Batas untuk n yang membesar

n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Derajat terkecil

n = 8

Jawaban

n = 8
5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: dz/dt = −6

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Titik dan laju

x(0) = 1, y(0) = 0
dx/dt = −3, dy/dt = −4t = 0

Turunan parsial

fx = −6xy² + 2x − 3y = 2
fy = −6x²y + 15y² − 3x = −3

Aturan rantai

dz/dt = 2·(−3) + (−3)·0 = −6

Jawaban

dz/dt = −6
6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: I = 0,4957

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Daerah

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1,2

Urutan terbalik

I = ∫01,2 ∫0x cos(x²) dy dx = ∫01,2 x·cos(x²) dx

Substitusi u = x²

I = [sin(x²)/2]01,2 = 0,4957

Jawaban

I = 0,4957
7.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 35,91 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(320/181)/19 = 0,02999 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(320/109)/0,02999 = 35,91 min

Jawaban

t = 35,91 min
8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 8,861

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

yss = 10, r = −0,5 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −1

Hitung nilainya

y(1) = 10·(1 − e−0,5(cos 5 + 0,1·sin 5)) = 8,861

Jawaban

y(1) = 8,861

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2