Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradien: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Turunan berarah: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Aturan rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Uji turunan kedua: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Koordinat kutub: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
Untuk soal gradien hitung ∇f = (f_x, f_y) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
Untuk ekstremum selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = f_xx·f_yy − f_xy².
Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

2.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

3.Barisan & deretSedang

Terapkan uji rasio pada Σ_k=1^∞ kᵏ/(3ᵏ·k!). Carilah L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(3ᵏ·k!)

L =

4.Barisan & deretSulit

Carilah koefisien c₂ dari (x − 1)² dalam deret Taylor f(x) = ln x di sekitar a = 1.

f(x) = ln xa = 1k = 2

c₂ =

5.Kalkulus multivariabelSedang

Untuk f(x, y) = −x³y² − 2x² − 2xy, carilah laju perubahan maksimum f di titik (3, 1), yaitu |∇f|.

f(x, y) = −x³y² − 2x² − 2xyP = (3, 1)

|∇f| =

6.Kalkulus multivariabelSulit

Carilah titik kritis f(x, y) = −x² − xy − 2y² + 7y − 1, klasifikasikan, dan berikan nilai f_max dari f pada maksimum lokalnya.

f(x, y) = −x² − xy − 2y² + 7y − 1

f_max =

7.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 440 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 30 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,02 min⁻¹, cari suhunya T setelah 29 menit.

T₀ = 440 °CT_a = 30 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 29 min

T = °C

8.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + 2y′ + 26y = 130 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1,5); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 23,5

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Jawaban

I = 23,5

2.Integral

Jawaban: A = 4,5

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

x² = 3x → x = 0, x = 3

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Jawaban

A = 4,5

3.Barisan & deret

Jawaban: L = 0,9061

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Rasio suku-suku berurutan

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/3 → e/3

Kesimpulan

L = 0,9061 < 1

Jawaban

L = 0,9061

L < 1, jadi deret konvergen.

4.Barisan & deret

Jawaban: c₂ = −0,5

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Turunan f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Koefisien

c₂ = f⁽²⁾(1)/2! = −1/(1²·2) = −0,5

c₂ = −0,5

Jawaban

c₂ = −0,5

5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: |∇f| = 72,67

Gradien: ∇f = (f_x, f_y) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah D_uf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Turunan parsial

f_x = −3x²y² − 4x − 2y → f_x(3, 1) = −41

f_y = −2x³y − 2x → f_y(3, 1) = −60

Panjang gradien

|∇f| = √((−41)² + (−60)²) = 72,67

Jawaban

|∇f| = 72,67

6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: f_max = 6

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki f_x = f_y = 0. Uji turunan kedua dengan D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 dan f_xx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan f_xx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Titik kritis

Selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama.

f_x = −2x − y = 0

f_y = −x − 4y + 7 = 0

(−1, 2)

Uji turunan kedua

(−1, 2): f_xx = −2, f_yy = −4, f_xy = −1, D = 7 → maksimum lokal

Nilai pada ekstremum

f(−1, 2) = 6

Jawaban

f_max = 6

7.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 259,6 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 30 + 410·e^−0,02t

Substitusikan t

T(29) = 30 + 410·0,5599 = 259,6 °C

Jawaban

T = 259,6 °C

8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 4,404

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 5, r = −1 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −1

Hitung nilainya

y(1,5) = 5·(1 − e^−1,5(cos 7,5 + 0,2·sin 7,5)) = 4,404

Jawaban

y(1,5) = 4,404

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2