Kalkulus 2: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kalkulus multivariabel

Turunan parsial: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradien: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Turunan berarah: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Aturan rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Uji turunan kedua: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Koordinat kutub: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metode

Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
Untuk soal gradien hitung ∇f = (f_x, f_y) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
Untuk ekstremum selesaikan f_x = 0 dan f_y = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = f_xx·f_yy − f_xy².
Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

2.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

3.Barisan & deretSedang

Tepat satu dari keempat deret divergen. Klik deret itu.

A: Σ (1/3)ᵏB: Σ 2/k²C: Σ k!/3ᵏD: Σ 1/(3ᵏ + k)

1A: Σ (1/3)ᵏ
2B: Σ 2/k²
3C: Σ k!/3ᵏ
4D: Σ 1/(3ᵏ + k)

4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri pada x = 2 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 8, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,0001

n =

5.Kalkulus multivariabelSedang

Bidang singgung z = −xy³ − 3x³ + 4xy di titik tempat (x, y) = (1, 1) dapat ditulis sebagai z = px + qy + c. Carilah c.

f(x, y) = −xy³ − 3x³ + 4xy(a, b) = (1, 1)

c =

6.Kalkulus multivariabelSulit

Hitunglah I = ∬_T (x + 2y) dA pada segitiga T yang dibatasi oleh y = 0, x = 3, dan y = 2x.

f = x + 2y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2x

I =

7.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 360 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 24 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,05 min⁻¹, cari suhunya T setelah 38 menit.

T₀ = 360 °CT_a = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 38 min

T = °C

8.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = x untuk x > 0, dengan y(1) = 0. Cari y(2).

y′ + y/x = xy(1) = 0

y(2) =

3Larutan

1.Integral

Jawaban: I = 2,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Jawaban

I = 2,333

2.Integral

Jawaban: I = 98,43

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Jawaban

I = 98,43

3.Barisan & deret

Jawaban: C: Σ k!/3ᵏ

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Uji setiap deret

A: Σ (1/3)ᵏ → Geometri dengan r = 1/3, |r| < 1: konvergen.

B: Σ 2/k² → Deret-p dengan p = 2 > 1: konvergen.

C: Σ k!/3ᵏ → Uji rasio: L = lim (k + 1)/3 = ∞, divergen.

D: Σ 1/(3ᵏ + k) → Lebih kecil dari (1/3)ᵏ, deret geometri yang konvergen: konvergen menurut perbandingan.

Jawabannya

C: Σ k!/3ᵏ

Jawaban

C: Σ k!/3ᵏ

4.Barisan & deret

Jawaban: n = 11

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas untuk n yang membesar

n = 10: 0,0004105 ≥ 0,0001

n = 11: 6,841 × 10⁻⁵ < 0,0001

Derajat terkecil

n = 11

Jawaban

n = 11

5.Kalkulus multivariabel

Jawaban: c = 5

Gradien: ∇f = (f_x, f_y) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah D_uf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Nilai dan kemiringan di titik itu

f(1, 1) = 0

f_x = −y³ − 9x² + 4y → f_x(1, 1) = −6

f_y = −3xy² + 4x → f_y(1, 1) = 1

Bidang singgung

z = 0 − 6(x − 1) + 1(y − 1)

z = −6x + y + 5

Suku konstanta

c = 5

Jawaban

c = 5

6.Kalkulus multivariabel

Jawaban: I = 54

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki f_x = f_y = 0. Uji turunan kedua dengan D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 dan f_xx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan f_xx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Limit

0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x

Integral dalam

∫₀^2x (x + 2y) dy = x·2x + 2·(2x)²/2 = 6x²

Integral luar

I = 6·3³/3 = 54

Jawaban

I = 54

7.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 74,26 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 24 + 336·e^−0,05t

Substitusikan t

T(38) = 24 + 336·0,1496 = 74,26 °C

Jawaban

T = 74,26 °C

8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 1,167

Faktor integrasi

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integralkan

(x¹y)′ = x² → x¹y = 1x³/3 + C

Kondisi awal

0 = 1/3 + C → C = −0,3333

Hitung nilainya

y(2) = (1·2³/3 + (−0,3333))/2¹ = 1,167

Jawaban

y(2) = 1,167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2