Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Hitung I = ∫210 5/x dx.
Daerah di antara garis y = 6x dan parabola y = 3x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
f(x) = cos x dihampiri pada x = 2 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁶.
Bidang singgung z = 2 ln(x² + 3y²) di titik tempat (x, y) = (2, 1) dapat ditulis sebagai z = px + qy + c. Carilah c.
Integral I = ∫01,5 ∫x1,5 cos(y²) dy dx tidak dapat dikerjakan dengan urutan ini. Balik urutan integrasi dan hitunglah.
Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 29 °C. Setelah 15 menit suhunya 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 14 °C?
Sebuah tangki berisi 400 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,05 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 10 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 20 menit?
Jawaban: I = 8,047
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
Jawaban: V = 120,6
Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.
Jawaban: B: Σ 1/(3ᵏ + k)
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Jawaban: n = 13
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Jawaban: c = −0,1082
Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Jawaban: I = 0,389
Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).
Jawaban: t = 5,39 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Jawaban: m = 13,93 kg
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Faktor integrasinya ert/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2