Sebuah anuitas membayar €8 000 di akhir setiap tahun selama 16 tahun. Suku bunganya 4% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €8 000i = 4%n = 16
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menabung €100 di akhir setiap bulan selama 27 tahun. Rekening memberi 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.
A = €1002,4% / 12N = 324
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €75 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €26 000, €26 000, €24 000. Biaya modal 7,000000000000001%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €16 000, €13 000, €15 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 13 000CF3 = 15 500
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 7% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 9 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 6% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 7% jatuh tempo dalam 5 tahun dan dijual seharga €1 065. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 7%n = 5P = €1 065
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki rasio utang terhadap ekuitas (pada nilai pasar) 0,75. Biaya ekuitasnya 12%, biaya utang sebelum pajaknya 5%, dan tarif pajaknya 30%. Tentukan WACC.
D/E = 0,75re = 12%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM & WACCSulit
Usaha sebuah perusahaan memiliki beta tanpa leverage (beta aset) 0,6. Perusahaan merencanakan rasio utang terhadap ekuitas 0,4. Tarif pajaknya 28%, suku bunga bebas risiko 2,5%, dan premi risiko pasar 5,5%. Tentukan biaya ekuitas re pada struktur modal yang baru.
βU = 0,6D/E = 0,4T = 28%rf = 2,5%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 13, 15, 13, 55, 11.
n = 5
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di bawah 30?
μ = 60σ = 20x = 30
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.
n = 6k = 4
N =
12.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 12 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?
n = 12p = 0,25k = 5
P =
13.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 480 dan 582 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 480x2 = 582
P =
14.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 40% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin40%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 36 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 3,5. Berapa margin galat E₂ selang 95% berdasarkan 72 pengamatan?
90%n₁ = 36E₁ = 3,595%n₂ = 72
E₂ =
16.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 6 petak, rata-rata hasil 40,5 kg, simpangan baku 2,5 kg. Kelompok petak 2: 8 petak, rata-rata 29 kg, simpangan baku 6,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 10. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 501,9. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ > 500. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 500σ = 10n = 100x̄ = 501,9H₁: μ > μ₀
p =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 4 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 14. Tentukan ukuran sampel minimum n.
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 48?
n = 5ŷ = 48
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 93218 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5339)/0,04 = 11,65
Nilai sekarang
PV = 8 000·11,65 = €93 218,36
Jawaban
PV = €93 218,36
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 45524 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 26 000/1,07 = 24 299,07
CF2/(1 + 0,07)2 = 26 000/1,145 = 22 709,41
CF3/(1 + 0,07)3 = 24 000/1,225 = 19 591,15
Jumlahkan
NPV = €−8 400,38
Jawaban
NPV = €−8 400,38
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 35,86 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(35%) = 284,76
NPV(40%) = −1 290,09
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €35,00, i = 0,03, N = 18
Nilai sekarang kupon
€35,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €481,37
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,5874 = €587,39
Harga
P = €1 068,77
Jawaban
P = €1 068,77
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTM = 5,479 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Selesaikan secara numerik
P(5%) = €1 086,59, P(6%) = €1 042,12
YTM = 5,479%
Jawaban
YTM = 5,479%
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 8,357 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot dari D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·12% + 0,4286·5%·(1 − 0,3) = 8,357%
Jawaban
WACC = 8,357%
8.CAPM & WACC
Jawaban: re = 6,75 %
Beta berleverage (Hamada): utang membuat ekuitas lebih berisiko. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dengan βU beta usaha tanpa utang. Untuk memindahkan beta ke struktur modal lain, hilangkan dulu leverage-nya (unlever), lalu terapkan kembali (relever) pada D/E yang baru.
Beta berleverage
βL = 0,6·(1 + 0,72·0,4) = 0,7728
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 2,5% + 0,7728·5,5% = 6,75%
Jawaban
re = 6,75%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 18,84
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1,5
Tabel normal baku
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Jawaban
P = 0,06681
11.Peluang
Jawaban: N = 15
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Jawaban
N = 15
12.Peluang
Jawaban: P = 0,1032
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Luas di antara
P = Φ(2,05) − Φ(−0,5) = 0,9798 − 0,3085 = 0,6713
Jawaban
P = 0,6713
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 67,5 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,6
z dari tabel
z ≈ 0,25
Kembali ke satuan semula
x = 65 + 0,25·10 = 67,5 poin
Jawaban
x = 67,5 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 2,949
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/72) = 0,8425
Margin baru
E₂ = 3,5·0,8425 = 2,949
Jawaban
E₂ = 2,949
16.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 6,476 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (5·2,5² + 7·6,5²)/12 = 27,25
sp = 5,22
Margin galat
E = 1,782·5,22·√(1/6 + 1/8) = 5,024
Selang
11,5 ± 5,024 → [6,476, 16,52]
Jawaban
batas bawah = 6,476 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,02872
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (501,9 − 500)/1 = 1,9
Luas ekor
Φ(1,9) = 0,9713
1 − Φ(1,9) = 0,0287
nilai p
p = 0,02872
Jawaban
p = 0,02872
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 194
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 1,645)·14/4)² = 193,2
Bulatkan ke atas
n = 194
Jawaban
n = 194
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9735
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 231/5 = 46,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Syy = Σ(y − ȳ)² = 418,8
Koefisien korelasi
r = 126/√(40·418,8) = 0,9735
Jawaban
r = 0,9735
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 5,478
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.