Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 2% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 20 tahun.
PV = €1 000r = 2%t = 20
FV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menabung €300 di akhir setiap bulan selama 6 tahun. Rekening memberi 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.
A = €3002,4% / 12N = 72
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €500 000 hari ini. Proyek menghasilkan €65 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 1% per tahun selamanya. Biaya modalnya 11%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €500 000CF1 = €65 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €11 000, €15 500 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −25 000CF1 = 11 000CF2 = 15 500
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 6% dan jatuh tempo dalam 13 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya berubah dari 5,5% menjadi 6,5%. Berapa besar ΔP perubahan harga obligasi?
F = €1 000kupon = 6%n = 13y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 3% jatuh tempo dalam 3 tahun dan dijual seharga €945. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 3%n = 3P = €945
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €6 000 000 dan utang senilai €5 000 000. Biaya ekuitasnya 14%, biaya utang sebelum pajaknya 4,5%, dan tarif pajaknya 28%. Tentukan WACC.
Sebuah perusahaan memiliki 1 000 000 lembar saham seharga €50,50 per lembar dan 40 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €960 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3% dan tarif pajak 20%. Beta sahamnya 1,8, tingkat bebas risiko 2%, dan imbal hasil pasar 6,5%. Tentukan WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 6,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 21, 31, 54, 23, 23.
n = 5
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 80.
μ = 70σ = 5x = 80
z =
11.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 2 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 2
P =
12.PeluangSulit
10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,25. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 10p = 0,25
P =
13.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,6265. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,6265
z =
14.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 25% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin25%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 8,1. Berapa margin galat E₂ selang 99% dari data yang sama?
95%n₁ = 25E₁ = 8,199%
E₂ =
16.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 21,5 kg, simpangan baku 10 kg. Kelompok petak 2: 15 petak, rata-rata 16 kg, simpangan baku 6,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 11 siswa, rata-rata nilai 102, simpangan baku 9,5. Kelompok 2: 5 siswa, rata-rata nilai 97,2, simpangan baku 2. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 11x̄₁ = 102s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 97,2s₂ = 2
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 72,5. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 72,5σ = 8n = 8190%
U =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 15?
n = 5ŷ = 15
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 1492 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Eksponen
r·t = 0,02·20 = 0,4
e0,4 = 1,492
Nilai masa depan
FV = 1 000·1,492 = €1 491,82
Jawaban
FV = €1 491,82
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 23208 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai arus kas
PV = 65 000/(0,11 − 0,01) = 650 000,00
NPV
NPV = 650 000,00 − 500 000 = €150 000,00
Jawaban
NPV = €150 000,00
NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 3,756 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −464,85
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Selesaikan secara numerik
P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81
YTM = 5,02%
Jawaban
YTM = 5,02%
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 9,109 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (80 − 70)/5 = 2
Jawaban
z = 2
11.Peluang
Jawaban: P = 0,3056
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Jawaban
P = 0,3056
12.Peluang
Jawaban: P = 0,244
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877
Jumlahkan
P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244
Jawaban
P = 0,244
13.Distribusi normal
Jawaban: z = 0,89
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,6265)/2 = 0,8133
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,8133 di dalam tabel dan baca z.
z = 0,89
Jawaban
z = 0,89
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 71,7 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,75
z dari tabel
z ≈ 0,67
Kembali ke satuan semula
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 poin
Jawaban
x = 71,7 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 10,65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Margin baru
E₂ = 8,1·1,314 = 10,65
Jawaban
E₂ = 10,65
16.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 7,37 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (6·10² + 14·6,5²)/20 = 59,58
sp = 7,718
Margin galat
E = 2,086·7,718·√(1/7 + 1/15) = 7,37
Jawaban
E = 7,37 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 1,099
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (10·9,5² + 4·2²)/14 = 65,61
sp = 8,1
Galat baku
SE = 8,1·√(1/11 + 1/5) = 4,369
Statistik uji
t = (102 − 97,2)/4,369 = 1,099
Jawaban
t = 1,099
Dengan df = 14, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,145; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 73,96
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·8/√81 = 1,462
Batas selang
U = 72,5 + 1,462 = 73,96
Jawaban
U = 73,96
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,8349
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 153/6 = 25,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 41,5
Koefisien korelasi
r = −22,5/√(17,5·41,5) = −0,8349
Jawaban
r = −0,8349
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 8,857
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.