Anda menginvestasikan €1 000 dengan bunga 6% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu. Tentukan nilainya FV setelah 4 tahun.
PV = €1 000r = 6%t = 4
FV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Pinjaman sebesar €15 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 4 tahun dengan bunga 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa total bunga I yang dibayar selama masa pinjaman?
P = €15 0003,6% / 12N = 48
I = €
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €30 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €12 000, €7 000, €13 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Proyek A berbiaya €30 000 dan menghasilkan €17 000, €11 500, €6 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €32 000 dan menghasilkan €8 000, €12 500, €17 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 8% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 7 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 5% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 5%n = 7
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi diperdagangkan pada €1 085 dengan imbal hasil hingga jatuh tempo 6% (pemajemukan tahunan) dan durasi Macaulay 6,2 tahun. Gunakan durasi termodifikasi untuk memperkirakan harga baru P jika imbal hasil naik 100 basis poin.
P0 = €1 085y = 6%D = 6,2Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €12 000 000 dan utang senilai €6 000 000. Biaya ekuitasnya 11%, biaya utang sebelum pajaknya 4%, dan tarif pajaknya 25,8%. Tentukan WACC.
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas dengan nilai pasar €12 000 000 dan biaya ekuitas 13%. Utangnya terdiri dari 2 000 obligasi (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 5%, sisa jatuh tempo 11 tahun) yang masing-masing diperdagangkan pada €885. Tarif pajaknya 21%. Tentukan WACC, dengan memakai imbal hasil hingga jatuh tempo obligasi sebagai biaya utang sebelum pajak.
Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 4 di antaranya melebihi 102 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 102 kg
P =
14.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,05 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 13 dan simpangan baku s = 9. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 21x̄ = 13s = 990%t(20) = 1,725
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 40. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?
σ = 40E = 0,595%
n =
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 3. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 500,43. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ > 500. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 500σ = 3n = 36x̄ = 500,43H₁: μ > μ₀
p =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.
σ = 4E = 295%
n =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 1271 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Eksponen
r·t = 0,06·4 = 0,24
e0,24 = 1,271
Nilai masa depan
FV = 1 000·1,271 = €1 271,25
Jawaban
FV = €1 271,25
2.Nilai waktu uang
Jawaban: I = 1128 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Angsuran bulanan
i = 0,003, N = 48
A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−48) = €336,01
Total bunga
I = N·A − P = 48·336 − 15 000 = €1 128,36
Jawaban
I = €1 128,36
3.NPV & IRR
Jawaban: NPV = −5725 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 12 000/1,15 = 10 434,78
CF2/(1 + 0,15)2 = 7 000/1,322 = 5 293,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 13 000/1,521 = 8 547,71
Jumlahkan
NPV = €−5 724,50
Jawaban
NPV = €−5 724,50
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 4,23 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 8 000 − 17 000 = −9 000
ΔCF2 = 12 500 − 11 500 = 1 000
ΔCF3 = 17 000 − 6 000 = 11 000
IRR selisih
NPVΔ(4%) = 49,67
NPVΔ(5%) = −162,19
r* = 4,23%
Jawaban
r* = 4,23%
Periksa: pada 4,23% kedua NPV bernilai €2 194,12.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1175 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €40,00, i = 0,025, N = 14
Nilai sekarang kupon
€40,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €467,64
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,7077 = €707,73
Harga
P = €1 175,36
Jawaban
P = €1 175,36
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1022 €
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Durasi termodifikasi
Dmod = 6,2/1,06 = 5,849
Perkiraan perubahan harga
%ΔP ≈ −5,849·(0,01) = −5,849%
P ≈ 1085·(1 − 0,05849) = €1 021,54
Jawaban
P = €1 021,54
Durasi adalah perkiraan linear; untuk perubahan imbal hasil yang besar, konveksitas membuat harga sebenarnya sedikit lebih tinggi.
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 8,323 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (160 − 170)/5 = −2
Jawaban
z = −2
11.Peluang
Jawaban: P = 0,5981
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Jawaban
P = 0,5981
12.Peluang
Jawaban: σY = 0,5339
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,4, Var(X) = 1,14, σX = 1,068
Perubahan linear
σY = |0,5|·1,068 = 0,5339
Jawaban
σY = 0,5339
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·1,4 + 4 = 4,7.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,02275
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg
Standarkan
z = (102 − 100)/1 = 2
Peluang
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9875
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standarkan
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Peluang
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Jawaban
P = 0,9875
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 9,612
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Margin galat
E = 1,725·9/√21 = 3,388
Selang
13 ± 3,388 → [9,612, 16,39]
Jawaban
batas bawah = 9,612
16.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 24587
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·40/0,5)² = 24586
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 24587
Jawaban
n = 24587
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,1949
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (500,43 − 500)/0,5 = 0,86
Luas ekor
Φ(0,86) = 0,8051
1 − Φ(0,86) = 0,1949
nilai p
p = 0,1949
Jawaban
p = 0,1949
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 16
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Selesaikan untuk n
n = (1,96·4/2)² = 15,37
Bulatkan ke atas
n = 16
Jawaban
n = 16
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9991
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 2335 − 33·405/6 = 107,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 27999 − 405²/6 = 661,5
Koefisien korelasi
r = 107,5/√(17,5·661,5) = 0,9991
Jawaban
r = 0,9991
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 43,13
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.