Sebuah anuitas membayar €2 000 di akhir setiap tahun selama 19 tahun. Suku bunganya 10% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €2 000i = 10%n = 19
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menabung €250 di akhir setiap bulan selama 11 tahun. Rekening memberi 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.
A = €2502,4% / 12N = 132
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €80 000 hari ini. Mesin menghasilkan €13 000 di akhir setiap tahun selama 8 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €16 000. Biaya modalnya 12%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €80 000CF = €13 000S = €16 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Sebuah proyek berbiaya €10 000 dan menghasilkan €7 000, €6 500 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 500
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 6% dan jatuh tempo dalam 5 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya berubah dari 5,5% menjadi 6,5%. Berapa besar ΔP perubahan harga obligasi?
F = €1 000kupon = 6%n = 5y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi diperdagangkan pada €1 015 dengan imbal hasil hingga jatuh tempo 5% (pemajemukan tahunan) dan durasi Macaulay 6,4 tahun. Gunakan durasi termodifikasi untuk memperkirakan harga baru P jika imbal hasil turun 25 basis poin.
P0 = €1 015y = 5%D = 6,4Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €8 000 000 dan utang senilai €5 000 000. WACC-nya 7,45%, biaya utang sebelum pajaknya 4,5%, dan tarif pajaknya 25%. Tentukan biaya ekuitas re.
Sebuah perusahaan memiliki 2 000 000 lembar saham seharga €57,00 per lembar dan 20 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €1 050 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 5% dan tarif pajak 25%. Beta sahamnya 1,1, tingkat bebas risiko 2%, dan imbal hasil pasar 6%. Tentukan WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 6%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 22, 26, 51, 45, 51, 16.
n = 6
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 152.
μ = 170σ = 15x = 152
z =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2
σ =
12.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 201 mm. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 201 mm
P =
14.Distribusi normalSulit
Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 78,5 dan simpangan baku s = 2,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 15x̄ = 78,5s = 2,599%t(14) = 2,977
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 6 petak, rata-rata hasil 88,5 kg, simpangan baku 4,5 kg. Kelompok petak 2: 10 petak, rata-rata 92,5 kg, simpangan baku 8,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 3. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 99,51. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ < 100. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 99,51H₁: μ < μ₀
p =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 12 dari 80 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 38 dari 150 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 38n₂ = 150
z =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 100Σx² = 55Σy² = 2090Σxy = 273
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 16730 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,1635)/0,1 = 8,365
Nilai sekarang
PV = 2 000·8,365 = €16 729,84
Jawaban
PV = €16 729,84
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 37723 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang arus kas tahunan
13 000·4,968 = 64 579,32
Nilai sekarang nilai sisa
16 000/2,476 = 6 462,13
NPV
NPV = −80 000 + 64 579,32 + 6 462,13 = −€8 958,55
Jawaban
NPV = −€8 958,55
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 22,89 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(20%) = 347,22
NPV(25%) = −240,00
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
IRR ≈ 20 + 5·347,22/(347,22 − (−240,00)) = 22,96%
tepat: NPV(22,89%) = 0 → IRR = 22,89%
Jawaban
IRR = 22,89%
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: ΔP = −42,13 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Durasi termodifikasi
Dmod = 6,4/1,05 = 6,095
Perkiraan perubahan harga
%ΔP ≈ −6,095·(−0,0025) = 1,524%
P ≈ 1015·(1 + 0,01524) = €1 030,47
Jawaban
P = €1 030,47
Durasi adalah perkiraan linear; untuk perubahan imbal hasil yang besar, konveksitas membuat harga sebenarnya sedikit lebih tinggi.
7.CAPM & WACC
Jawaban: re = 9,997 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Bagian utang dalam WACC
0,3846·4,5%·(1 − 0,25) = 1,298%
Biaya ekuitas
re = (7,45% − 1,298%)/0,6154 = 9,997%
Jawaban
re = 9,997%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 5,988 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (152 − 170)/15 = −1,2
Jawaban
z = −1,2
11.Peluang
Jawaban: σ = 11,08
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,85, Var(X) = 1,527, σX = 1,236
Perubahan linear
σY = |10|·1,236 = 12,36
Jawaban
σY = 12,36
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·2,85 − 3 = 25,5.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,02275
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standarkan
z = (201 − 200)/0,5 = 2
Ekor atas
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8413
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standarkan
z = (0 − 10)/10 = −1
Peluang
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 76,58
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Margin galat
E = 2,977·2,5/√15 = 1,922
Selang
78,5 ± 1,922 → [76,58, 80,42]
Jawaban
batas bawah = 76,58
16.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 2,663 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (5·4,5² + 9·8,5²)/14 = 53,68
sp = 7,327
Margin galat
E = 1,761·7,327·√(1/6 + 1/10) = 6,663
Selang
−4 ± 6,663 → [−10,66, 2,663]
Jawaban
batas atas = 2,663 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,1635
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (99,51 − 100)/0,5 = −0,98
Luas ekor
Φ(0,98) = 0,8365
1 − Φ(0,98) = 0,1635
nilai p
p = 0,1635
Jawaban
p = 0,1635
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −1,81
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 12/80 = 0,15
p̂₂ = 38/150 = 0,2533
p̂ = 50/230 = 0,2174
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,2174·0,7826·(1/80 + 1/150)) = 0,0571
Statistik uji
z = (0,15 − 0,2533)/0,0571 = −1,81
Jawaban
z = −1,81
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 273 − 15·100/5 = −27
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2090 − 100²/5 = 90
Koefisien korelasi
r = −27/√(10·90) = −0,9
Jawaban
r = −0,9
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 27,65
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 127/5 = 25,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Garis regresi
b = −15/10 = −1,5
a = 25,4 − (−1,5)·3 = 29,9
ŷ = 29,9 − 1,5·x
Prediksi
ŷ = 29,9 + (−1,5)·1,5 = 27,65
Jawaban
ŷ = 27,65
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.