Anda butuh €15 000 dalam 3 tahun. Sebuah rekening memberi 2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €15 0002% / 12n = 3
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda ingin memiliki €20 000 dalam 7 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 4,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.
FV = €20 0004,2% / 12N = 84
A = €
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €13 000, €12 000, €13 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Sebuah proyek berbiaya €40 000 dan menghasilkan €19 500, €18 000, €17 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 18 000CF3 = 17 000
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 3% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 5 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 4% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 4%n = 5
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi diperdagangkan pada €990 dengan imbal hasil hingga jatuh tempo 7% (pemajemukan tahunan) dan durasi Macaulay 3,9 tahun. Gunakan durasi termodifikasi untuk memperkirakan harga baru P jika imbal hasil naik 150 basis poin.
P0 = €990y = 7%D = 3,9Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €4 000 000 dan utang senilai €6 000 000. Biaya ekuitasnya 12%, biaya utang sebelum pajaknya 4,5%, dan tarif pajaknya 28%. Tentukan WACC.
Usaha sebuah perusahaan memiliki beta tanpa leverage (beta aset) 0,9. Perusahaan merencanakan rasio utang terhadap ekuitas 0,75. Tarif pajaknya 25%, suku bunga bebas risiko 3,5%, dan premi risiko pasar 5,5%. Tentukan biaya ekuitas re pada struktur modal yang baru.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 25%rf = 3,5%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 14, 51, 58, 41, 53, 35, 13.
n = 7
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 210?
μ = 170σ = 20x = 210
P =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35
σ =
12.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €15 dengan peluang 0,2 dan €30 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €3€15: p = 0,2€30: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8638. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,8638
z =
14.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 13 unit memiliki rata-rata 104 dan simpangan baku s = 3. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 13x̄ = 104s = 390%t(12) = 1,782
batas atas =
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 15 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 10,9 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 14, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 5,629 dan 2,5% berada di atas 26,119.
n = 15s = 10,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
11 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 2,69 dan simpangan baku selisihnya 4,7. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 2,69sd = 4,7
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 28 dari 80 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 60 dari 120 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 60n₂ = 120
z =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 14127 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·3 = 36
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,062 = €14 127,17
Jawaban
PV = €14 127,17
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 205,2 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 13 000/1,15 = 11 304,35
CF2/(1 + 0,15)2 = 12 000/1,322 = 9 073,72
CF3/(1 + 0,15)3 = 13 000/1,521 = 8 547,71
Jumlahkan
NPV = €−16 074,22
Jawaban
NPV = €−16 074,22
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 17,68 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(15%) = 1 744,88
NPV(20%) = −1 412,04
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €15,00, i = 0,02, N = 10
Nilai sekarang kupon
€15,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €134,74
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,8203 = €820,35
Harga
P = €955,09
Jawaban
P = €955,09
Imbal hasil di atas tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan diskon.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 935,9 €
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Durasi termodifikasi
Dmod = 3,9/1,07 = 3,645
Perkiraan perubahan harga
%ΔP ≈ −3,645·(0,015) = −5,467%
P ≈ 990·(1 − 0,05467) = €935,87
Jawaban
P = €935,87
Durasi adalah perkiraan linear; untuk perubahan imbal hasil yang besar, konveksitas membuat harga sebenarnya sedikit lebih tinggi.
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,744 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·12% + 0,6·4,5%·(1 − 0,28) = 6,744%
Jawaban
WACC = 6,744%
8.CAPM & WACC
Jawaban: re = 11,23 %
Beta berleverage (Hamada): utang membuat ekuitas lebih berisiko. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dengan βU beta usaha tanpa utang. Untuk memindahkan beta ke struktur modal lain, hilangkan dulu leverage-nya (unlever), lalu terapkan kembali (relever) pada D/E yang baru.
Beta berleverage
βL = 0,9·(1 + 0,75·0,75) = 1,406
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 3,5% + 1,406·5,5% = 11,23%
Jawaban
re = 11,23%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 18,32
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 2
Tabel normal baku
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
11.Peluang
Jawaban: σ = 11,66
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 12 (p = 0,2), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)
Nilai harapan
E(G) = 12·0,2 + 27·0,05 − 3·0,75 = 1,5 €
Jawaban
E(G) = 1,5 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
13.Distribusi normal
Jawaban: z = 1,49
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,8638)/2 = 0,9319
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,9319 di dalam tabel dan baca z.
z = 1,49
Jawaban
z = 1,49
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8849
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Peluang
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 105,5
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Margin galat
E = 1,782·3/√13 = 1,483
Selang
104 ± 1,483 → [102,5, 105,5]
Jawaban
batas atas = 105,5
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 17,19 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 14·10,9² = 1663
Batas untuk σ²
1663/26,119 = 63,68
1663/5,629 = 295,5
Batas untuk σ
σ = √295,5 = 17,19 µm
Jawaban
σ = 17,19 µm
Selang 95% untuk σ: [7,98, 17,19] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 1,898
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 4,7/√11 = 1,417
Statistik uji
t = 2,69/1,417 = 1,898
Jawaban
t = 1,898
Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −2,094
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 28/80 = 0,35
p̂₂ = 60/120 = 0,5
p̂ = 88/200 = 0,44
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,44·0,56·(1/80 + 1/120)) = 0,07165
Statistik uji
z = (0,35 − 0,5)/0,07165 = −2,094
Jawaban
z = −2,094
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9473
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 301/6 = 50,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123
Syy = Σ(y − ȳ)² = 240,8
Koefisien korelasi
r = 123/√(70·240,8) = 0,9473
Jawaban
r = 0,9473
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 2,36
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Garis regresi
b = −25/10 = −2,5
a = 19,4 − (−2,5)·3 = 26,9
ŷ = 26,9 − 2,5·x
Selesaikan untuk x
x = (21 − 26,9)/(−2,5) = 2,36
Jawaban
x = 2,36
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.