Rangkaian Listrik 2: rangkaian AC: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 16 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedansi AC & fasor

Impedansi: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frekuensi sudut: ω = 2πf
Besar dan sudut: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Hukum Ohm dalam fasor: V = I·Z

Metode

Ubah frekuensinya: ω = 2πf.
Cari setiap reaktansi: X_L = ωL dan X_C = 1/(ωC).
Jumlahkan impedansi seperti resistor, dengan Z = R + jX.
Cari besar |Z| = √(R² + X²) dan sudut φ = atan(X/R), lalu gunakan hukum Ohm dengan fasor.

Daya AC & faktor daya

Daya nyata: P = V·I·cos φ
Daya reaktif: Q = V·I·sin φ
Daya semu: S = V·I = √(P² + Q²)
Faktor daya: pf = cos φ = P/S
Kapasitor kompensasi: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Frekuensi alami: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energi: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Arus puncak: I_max = V₀√(C/L)
Faktor kualitas: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC seri: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC paralel: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Lebar pita: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Frekuensi setengah daya: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Rangkaian tangki dengan resistansi kumparan r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Peluruhan amplitudo: e^−Rt/(2L)

Metode

Cari frekuensi resonansi lebih dulu: ω₀ = 1/√(LC) dan f₀ = ω₀/(2π).
Tentukan apakah rangkaiannya seri atau paralel: seri Q = (1/R)√(L/C), paralel Q = R√(C/L).
Gunakan BW = f₀/Q untuk lebar pita, atau pintasan R/(2πL) (seri) dan 1/(2πRC) (paralel).
Pada soal energi, gunakan fakta bahwa energi total ½CV₀² tetap konstan pada rangkaian LC ideal dan berpindah antara C dan L setiap seperempat periode.

Daya tiga fasa

Hubungan Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Hubungan Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Daya nyata total: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Daya semu dan daya reaktif: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kapasitor perbaikan faktor daya: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Tegangan pada setiap kapasitor: Δ: V_L Y: V_L/√3
Daya masukan motor: P_in = P_out/η

Transien RC & RL

Konstanta waktu: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kapasitor pada DC: rangkaian terbuka; v_C tidak dapat melompat
Induktor pada DC: hubung singkat; i_L tidak dapat melompat
Keadaan tunak: t ≈ 5τ

Metode

Cari nilai awal sesaat setelah sakelar berpindah: tegangan kapasitor dan arus induktor tidak dapat melompat.
Cari nilai akhir lama setelah sakelar berpindah: kapasitor berperilaku sebagai rangkaian terbuka, induktor sebagai hubung singkat.
Cari konstanta waktu: τ = RC atau τ = L/R, dengan hambatan yang terlihat oleh kapasitor atau induktor.
Gunakan x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistansi Thévenin: R_th: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton: I_N = V_th/R_th
Arus beban: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Transfer daya maksimum: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metode

Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah V_th.
Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah R_th.
Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: V_th seri dengan R_th.
Untuk ekuivalen Norton, konversikan: I_N = V_th/R_th, dengan R_N = R_th secara paralel.

2Soal latihan

1.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 2,5∠125° dan z₂ = 3∠45°, carilah bagian imajiner dari w = z₁/z₂.

z₁ = 2,5∠125°z₂ = 3∠45°

Im(w) =

2.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 64∠60° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Carilah bagian imajiner dari z₁.

w = 64∠60°n = 3k = 1

Im(z₁) =

3.Impedansi AC & fasorSedang

Rangkaian RLC seri dihubungkan ke sumber 12 V (rms), 500 Hz. Cari arus rms I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF

I = A

4.Impedansi AC & fasorSulit

Rangkaian RLC seri dihubungkan ke sumber 120 V (rms), 1000 Hz. Cari frekuensi resonansi f₀ rangkaian.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

5.Daya AC & faktor dayaSedang

Motor satu fase menyerap 29 kW pada faktor daya 0,65 tertinggal dari sumber 400 V. Cari arus saluran I.

P = 29 kWpf = 0,65V = 400 V

I = A

6.Daya AC & faktor dayaSulit

Beban satu fase menyerap 50 kW pada faktor daya 0,75 tertinggal dari sumber 230 V, 50 Hz. Kapasitor yang dipasang paralel menaikkan faktor daya menjadi 0,98. Cari daya reaktif Q_C yang harus dipasok kapasitor.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Resonansi LC, faktor Q & lebar pitaSedang

Pada rangkaian LC ideal dengan L = 10 mH dan C = 1 µF, kapasitor terisi penuh pada t = 0. Berapa lama hingga seluruh energi berada di induktor? Berikan t dalam µs.

L = 10 mHC = 1 µF

t = µs

8.Resonansi LC, faktor Q & lebar pitaSulit

Frekuensi setengah daya suatu kurva resonansi adalah 100 kHz dan 200 kHz. Cari frekuensi resonansi sebagai rata-rata geometriknya, lalu faktor kualitas Q.

f₁ = 100 kHzf₂ = 200 kHz

Q =

9.Daya tiga fasaSedang

Sebuah motor induksi tiga fasa menghasilkan daya keluaran mekanis 37 kW pada beban penuh. Pada beban ini efisiensinya 92% dan faktor dayanya 0,88 tertinggal. Sumbernya memiliki tegangan antarsaluran 415 V. Cari arus saluran I_L.

P_out = 37 kWη = 92%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

10.Daya tiga fasaSulit

Beban tiga fasa seimbang menyerap 250 kW pada faktor daya 0,72 tertinggal dari sumber 415 V (antarsaluran), 60 Hz. Bank kapasitor tiga fasa yang diparalel dengan beban harus menaikkan faktor daya keseluruhan menjadi 0,92 tertinggal. Daya nyatanya tetap sama. Kapasitor dihubungkan secara Y. Cari kapasitansi C_ph setiap kapasitor dalam µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Transien RC & RLSedang

Sumber Vₛ mengisi kapasitor melalui R₁, dan R₂ terhubung paralel dengan C. Kapasitor belum bermuatan saat sakelar ditutup pada t = 0. Cari tegangan kapasitor v_C pada t = 200 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 200 ms

v_C = V

12.Transien RC & RLSulit

Sebuah pewaktu mulai mengisi kapasitor yang tidak bermuatan melalui resistor dari catu 15 V pada t = 0. Pewaktu harus terpicu ketika tegangan kapasitor mencapai 11,25 V, tepat 200 ms setelah mulai. Dengan C = 1 µF, cari resistansi R yang diperlukan.

V_s = 15 VV_th = 11,25 VT = 200 msC = 1 µF

R = kΩ

13.Thévenin & NortonSedang

Cari arus Norton I_N: arus yang mengalir dari a ke b jika terminal dihubung singkat.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

14.Thévenin & NortonSulit

Cari arus Norton I_N: arus yang mengalir dari a ke b jika terminal dihubung singkat.

V₁ = 12 VI_s = 2 AR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

15.Plot Bode dan marginSedang

Filter lolos rendah RC yang ditunjukkan memiliki R = 47 kΩ, C = 47 nF. Masukan sinusoidal 290 Hz diberikan. Cari pergeseran fasa φ dari v_out relatif terhadap v_in, dalam derajat.

R = 47 kΩC = 47 nFf = 290 Hz

φ = °

16.Plot Bode dan marginSulit

Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = 114/(s(s + 2)(s + 8)). Cari margin penguatan GM dalam dB.

L(s) = 114/(s(s + 2)(s + 8))

GM = dB

3Larutan

1.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(w) = 0,8207

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2,5 / 3 = 0,8333

θ = 125° − 45° = 80°

Bentuk kartesius

Re(w) = 0,8333·cos(80°) = 0,1447

Im(w) = 0,8333·sin(80°) = 0,8207

Im(w) = 0,8207

Jawaban

Im(w) = 0,8207

2.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(z₁) = 2,571

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

64^1/3 = 4

Argumen akar

θ₁ = (60° + 360°·1)/3 = 140°

Bentuk kartesius

z₁ = 4·(cos 140° + j sin 140°) = −3,064 + j2,571

Im(z₁) = 2,571

Jawaban

Im(z₁) = 2,571

3 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 4, dengan jarak sudut 120°.

3.Impedansi AC & fasor

Jawaban: I = 0,01579 A

Rangkaian AC dengan fasor: resistor, induktor, dan kapasitor memiliki impedansi R, jωL, dan 1/(jωC), dengan ω = 2πf. Dalam seri, impedansi dijumlahkan seperti resistansi, tetapi sebagai bilangan kompleks. Arus dan tegangan rms mengikuti hukum Ohm dengan |Z|.

Reaktansi

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedansi

Dalam seri, impedansi dijumlahkan sebagai bilangan kompleks: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (753,6)²) = 760,2 Ω

Arus

Arus yang sama mengalir melalui setiap elemen rangkaian seri.

I = V/|Z| = 12/760,2 = 0,01579 A

Jawaban

I = 0,01579 A

4.Impedansi AC & fasor

Jawaban: f₀ = 225,1 Hz

Resonansi

Saat resonansi, reaktansi induktif dan kapasitif saling meniadakan: ωL = 1/(ωC). Frekuensi sumber tidak berpengaruh.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Jawaban

f₀ = 225,1 Hz

5.Daya AC & faktor daya

Jawaban: I = 111,5 A

Daya AC: daya semu S = V·I (VA) terbagi menjadi daya nyata P = S·cos φ (W), yang melakukan kerja berguna, dan daya reaktif Q = S·sin φ (var), yang bolak-balik antara sumber dan beban. Faktor daya adalah cos φ. Kapasitor paralel memasok daya reaktif secara lokal, sehingga arus saluran turun untuk daya nyata yang sama.

Arus saluran

Hanya bagian nyata dari daya yang melakukan kerja, jadi bagi dengan faktor daya.

I = P/(V·cos φ) = 29000/(400·0,65) = 111,5 A

Jawaban

I = 111,5 A

6.Daya AC & faktor daya

Jawaban: Q_C = 33,94 kvar

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya nyata P tidak berubah; hanya daya reaktif yang ditarik dari sumber yang berubah.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(11,48°) = 10,15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,94 kvar

Jawaban

Q_C = 33,94 kvar

7.Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Jawaban: t = 157,1 µs

Resonansi LC: kapasitor bermuatan yang dihubungkan ke induktor mengalirkan arus yang memuatnya ke arah sebaliknya: energi berayun antara medan listrik C (½Cv²) dan medan magnet L (½Li²) pada frekuensi alami f₀ = 1/(2π√(LC)). Tanpa resistansi, energi total ½CV₀² tetap konstan, sehingga arus puncaknya adalah I_max = V₀√(C/L). Satu periode adalah T = 1/f₀; energi berpindah dari C ke L dalam seperempatnya.

Periode

T = 2π√(0,01·1 × 10⁻⁶) = 628,3 µs

Seperempat periode

t = T/4 = 157,1 µs

Jawaban

t = 157,1 µs

8.Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Jawaban: Q = 1,414

Faktor Q dan lebar pita: pada rangkaian resonan Q = 2π·(energi tersimpan)/(energi hilang per siklus). Untuk RLC seri Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); untuk RLC paralel Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Lebar pita antara frekuensi setengah daya f₁ dan f₂ (tempat daya menjadi setengah dan arus atau tegangan menjadi 1/√2 dari puncaknya) adalah BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, yaitu R/(2πL) pada rangkaian seri dan 1/(2πRC) pada rangkaian paralel. Frekuensi resonansi adalah rata-rata geometrik f₀ = √(f₁f₂), dan f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Rugi-rugi juga membuat osilasi meluruh: pada RLC seri amplitudonya turun sebagai e^−Rt/(2L).

Frekuensi resonansi

f₀ = √(100000·200000) = 141421 Hz

Lebar pita

BW = 200000 − 100000 = 100000 Hz

Faktor kualitas

Q = 141421/100000 = 1,414

Jawaban

Q = 1,414

9.Daya tiga fasa

Jawaban: I_L = 63,58 A

Daya masukan listrik

P_in = P_out/η = 37/0,92 = 40,22 kW

Arus saluran

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 40217/(√3·415·0,88) = 63,58 A

Jawaban

I_L = 63,58 A

10.Daya tiga fasa

Jawaban: C_ph = 2071 µF

Sistem tiga fasa seimbang: pada hubungan Y (bintang) tegangan antarsaluran adalah √3 kali tegangan fasa, V_L = √3·V_ph, dan arus saluran sama dengan arus fasa. Pada hubungan Δ (delta) tegangan antarsaluran sama dengan tegangan fasa dan arus saluran adalah √3 kali arus fasa, I_L = √3·I_ph. Daya total adalah tiga kali daya satu fasa: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Perbaikan faktor daya: kapasitor menyuplai daya reaktif secara lokal, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Masing-masing dari ketiga kapasitor menyuplai Q_C/3 = V²·ω·C, dengan V tegangan pada kapasitor tersebut: V_L pada bank Δ, V_L/√3 pada bank Y.

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya nyata tidak berubah, sehingga setiap faktor daya menentukan daya reaktifnya: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Daya reaktif dari kapasitor

Q_C = Q₁ − Q₂ = 134,5 kvar

Kapasitansi per fasa

Pada bank Y, setiap kapasitor terhubung di antara satu saluran dan titik bintang.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 44821/(377·239,6²) = 2071 µF

Jawaban

C_ph = 2071 µF

11.Transien RC & RL

Jawaban: v_C = 2,883 V

Transien orde satu: pada rangkaian dengan satu kapasitor atau satu induktor, setiap tegangan dan arus berubah secara eksponensial dari nilai awal ke nilai akhir: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, dengan τ = RC atau τ = L/R. Setelah sekitar 5τ rangkaian sudah stabil.

Ekuivalen Thévenin yang dilihat kapasitor

Hubung singkatkan sumber untuk mencari R_th; buka kapasitor untuk mencari tegangan akhirnya.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 9·4,7/(6,8 + 4,7) = 3,678 V

Konstanta waktu

τ = R_th·C = 2,779·47 = 130,6 ms

Kurva pengisian

v_C(t) = 3,678·(1 − e^−200/130,6) = 2,883 V

Jawaban

v_C = 2,883 V

12.Transien RC & RL

Jawaban: R = 144,3 kΩ

Konstanta waktu yang diperlukan

11,25 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 11,25))

τ = 200/1,386 = 144,3 ms

Hambatan

kΩ dikali µF menghasilkan milidetik.

R = τ/C = 144,3/1 = 144,3 kΩ

Jawaban

R = 144,3 kΩ

13.Thévenin & Norton

Jawaban: I_N = 0,8571 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan V_th yang seri dengan resistansi R_th. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus I_N = V_th/R_th yang paralel dengan R_th.

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 2 = 4,667 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, tidak ada arus yang mengalir di R₃, jadi tidak ada jatuh tegangan dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembagi tegangan.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·8/(4+8) = 4 V

Ekuivalen Norton

Sumber Norton adalah rangkaian yang sama dilihat sebagai sumber arus paralel dengan R_th. Arusnya adalah arus hubung singkat di a–b.

I_N = V_th/R_th = 4/4,667 = 0,8571 A

14.Thévenin & Norton

Jawaban: I_N = −1,76 A

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 30 = 33,33 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8 + (−2)·3,333 = 1,333 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1,333 + (−2)·30 = −58,67 V

Ekuivalen Norton

Sumber Norton adalah rangkaian yang sama dilihat sebagai sumber arus paralel dengan R_th. Arusnya adalah arus hubung singkat di a–b.

I_N = V_th/R_th = −58,67/33,33 = −1,76 A

15.Plot Bode dan margin

Jawaban: φ = −76,05 °

Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ω_c = 1/(RC) atau R/L, dan f_c = ω_c/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) dan φ = −atan(ω/ω_c). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jω_c). Persilangan fasa ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.

Frekuensi sudut

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·4,7 × 10⁻⁸) = 452,7 rad/s

f_c = 72,05 Hz → f/f_c = 290/72,05 = 4,025

Fasa

φ = − atan(4,025) = −76,05°

Jawaban

φ = −76,05°

16.Plot Bode dan margin

Jawaban: GM = 2,944 dB

Persilangan fasa

(ω/2)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·8) = 4 rad/s

Besar pada persilangan fasa

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 64)) = K/(2·8·(2 + 8)) = K/160

Margin penguatan

GM = 20·log₁₀(160/114) = 2,944 dB

Jawaban

GM = 2,944 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Rangkaian Listrik 2: rangkaian AC: paket kilat

1Rumus dan metode

Bilangan kompleks

Metode

Impedansi AC & fasor

Metode

Daya AC & faktor daya

Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Metode

Daya tiga fasa

Transien RC & RL

Metode

Thévenin & Norton

Metode

2Soal latihan

3Larutan

Modulus dan argumen w

Bentuk kartesius

Jawaban

Modulus akar-akar

Argumen akar

Bentuk kartesius

Jawaban

Reaktansi

Impedansi

Arus

Jawaban

Resonansi

Jawaban

Arus saluran

Jawaban

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Jawaban

Periode

Seperempat periode

Jawaban

Frekuensi resonansi

Lebar pita

Faktor kualitas

Jawaban

Daya masukan listrik

Arus saluran

Jawaban

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya reaktif dari kapasitor

Kapasitansi per fasa

Jawaban

Ekuivalen Thévenin yang dilihat kapasitor

Konstanta waktu

Kurva pengisian

Jawaban

Konstanta waktu yang diperlukan

Hambatan

Jawaban

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Ekuivalen Norton

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Ekuivalen Norton

Frekuensi sudut

Fasa

Jawaban

Persilangan fasa

Besar pada persilangan fasa

Margin penguatan

Jawaban

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka