Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa banyak ruang stack yang dipakai fungsi faktorial rekursif sederhana fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Lintasan sederhana terpendek dapat ditemukan dalam waktu polinomial. Apa yang diketahui tentang mencari lintasan sederhana terpanjang antara dua simpul pada graf umum?

  1. AMasalah itu NP-hard
  2. BSelalu dapat diselesaikan dalam O(V + E)
  3. CMasalah itu undecidable
  4. DDapat diselesaikan dengan algoritma Dijkstra memakai bobot yang dinegasikan
3.Struktur dataSedang

Bagaimana elemen baru disisipkan ke binary heap?

  1. ATempatkan di root dan geser ke bawah (sift down)
  2. BBangun ulang seluruh heap dari awal
  3. CTempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap
  4. DSisipkan di posisi terurutnya dengan menggeser semua elemen yang lebih besar satu tempat ke kanan
4.Struktur dataSulit

Jaminan apa yang diberikan aturan red-black tree tentang tinggi pohon dengan n kunci?

  1. ATingginya paling banyak n / 2
  2. BTingginya paling banyak 2 log2(n + 1)
  3. CTingginya tepat log2 n
  4. DTingginya paling banyak log2 n + 1
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 2 simpul berderajat 3, 2 simpul berderajat 5, 2 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

2 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
ABCDEF

Ada berapa jalan tertutup dengan panjang 2 yang dimulai dan berakhir di A? Jalan boleh mengulang simpul dan sisi. Sebut bilangan ini N.

M = matriks ketetanggaanL = 2
N =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · O(n)

Mengapa ini jawabannya

Rekursinya sedalam n pemanggilan sebelum ada yang kembali, dan setiap pemanggilan memerlukan stack frame, sehingga memakai ruang O(n).

Jawaban

A · O(n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Masalah itu NP-hard

Mengapa ini jawabannya

Lintasan sederhana terpanjang sepanjang V − 1 adalah lintasan Hamilton, masalah NP-complete; namun pada graf asiklik berarah (DAG) masalah ini dapat diselesaikan dalam waktu linear.

Jawaban

A · Masalah itu NP-hard
3.Struktur data

Jawaban: C · Tempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap

Mengapa ini jawabannya

Menambah di akhir menjaga pohon tetap lengkap; menukar dengan induk memulihkan urutan dalam O(log n) langkah.

Jawaban

C · Tempatkan di akhir array dan geser ke atas (sift up) selama melanggar sifat heap
4.Struktur data

Jawaban: B · Tingginya paling banyak 2 log2(n + 1)

Mengapa ini jawabannya

Setiap lintasan memiliki jumlah node hitam yang sama dan node merah tidak boleh bersebelahan, sehingga lintasan terpanjang paling banyak dua kali yang terpendek, memberikan tinggi O(log n).

Jawaban

B · Tingginya paling banyak 2 log2(n + 1)
5.Teori graf

Jawaban: L = 10

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

Jawaban

L = 10

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: N = 2

Derajat: derajat suatu simpul adalah banyaknya sisi yang bertemu di simpul itu. Setiap sisi memiliki dua ujung, jadi jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Karena itu banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap. Kn memiliki n(n − 1)/2 sisi, graf beraturan-k dengan n simpul memiliki nk/2, dan pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Matriks ketetanggaan

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 0 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Tetangga bersama

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Jawaban

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms