Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Sebuah fungsi menjalankan satu loop berisi n iterasi, lalu secara terpisah satu loop lain berisi n iterasi. Berapa kompleksitas waktunya?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Masalah knapsack 0/1 yang diselesaikan dengan pemrograman dinamis memerlukan waktu O(nW). Mengapa ini disebut pseudo-polinomial?

  1. AKarena algoritmanya bersifat acak (randomised) dan waktu eksekusinya berbeda untuk setiap input
  2. BKarena n selalu kecil
  3. CW adalah nilai numerik, sehingga waktunya eksponensial terhadap jumlah bit yang diperlukan untuk menuliskan W
  4. DKarena algoritma ini hanya berlaku untuk W = 0
3.Struktur dataSedang

Kunci 50, 30, 70, 20, 40 disisipkan berurutan ke binary search tree kosong. Apa anak kiri dari 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C50
  4. D40
4.Struktur dataSulit

Pada BST dengan root 50, subpohon kiri 30 (anak 20, 40) dan subpohon kanan 70 (anak 60, 80), root dihapus memakai in-order successor. Kunci mana yang menjadi root baru?

  1. A40
  2. B70
  3. C60
  4. D80
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K4? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K4
H =
6.Teori grafSulit
115151111215143ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · O(n)

Mengapa ini jawabannya

n + n = 2n, dan faktor konstan dibuang, sehingga fungsinya O(n).

Jawaban

A · O(n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · W adalah nilai numerik, sehingga waktunya eksponensial terhadap jumlah bit yang diperlukan untuk menuliskan W

Mengapa ini jawabannya

Waktu eksekusinya polinomial terhadap nilai W tetapi eksponensial terhadap panjangnya (log W bit); knapsack 0/1 adalah NP-complete.

Jawaban

C · W adalah nilai numerik, sehingga waktunya eksponensial terhadap jumlah bit yang diperlukan untuk menuliskan W
3.Struktur data

Jawaban: B · 20

Mengapa ini jawabannya

20 lebih kecil daripada 50 dan lebih kecil daripada 30, sehingga menjadi anak kiri 30; 40 menjadi anak kanannya.

Jawaban

B · 20
4.Struktur data

Jawaban: C · 60

Mengapa ini jawabannya

Node paling kiri di subpohon kanan adalah 60, sehingga 60 menggantikan 50 dan posisi lamanya dihapus; memakai predecessor akan menghasilkan 40.

Jawaban

C · 60
5.Teori graf

Jawaban: H = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawaban

H = 3
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 21

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 11, C: 5
C (5): E: 6, G: 19
E (6): D: 18, F: 21, G: 9
G (9)
B (11)
D (18)
F (21)

Lintasan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 21

Jawaban

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms