Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Rekurens T(n) = T(n/2) + O(1) menghasilkan apa?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Mengambil kedua titik ujung dari setiap sisi dalam maximal matching menghasilkan vertex cover. Seberapa baik cover ini?

  1. ASelalu merupakan minimum vertex cover
  2. BPaling banyak log n kali minimum
  3. CPaling banyak dua kali ukuran minimum vertex cover
  4. DKualitasnya tidak diketahui dibandingkan optimum
3.Struktur dataSedang

Sebuah binary tree memiliki root 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; node 2 memiliki anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Bagaimana hasil traversal preorder-nya?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Struktur dataSulit

Struktur union-find (disjoint set) dengan union by rank dan path compression memiliki biaya teramortisasi per operasi sebesar:

  1. AO(n)
  2. BTepat O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 8 simpul dan 12 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 8|E| = 12
k =
6.Teori grafSulit
716114981411ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Masalahnya terbagi dua pada setiap langkah dengan kerja konstan per langkah, sehingga ada sekitar log₂ n langkah.

Jawaban

C · O(log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Paling banyak dua kali ukuran minimum vertex cover

Mengapa ini jawabannya

Sisi-sisi matching tidak berbagi simpul, sehingga optimum memerlukan setidaknya satu simpul per sisi, sedangkan metode ini mengambil dua: aproksimasi-2.

Jawaban

C · Paling banyak dua kali ukuran minimum vertex cover
3.Struktur data

Jawaban: C · 1 2 4 5 3

Mengapa ini jawabannya

Preorder mengunjungi 1, lalu subpohon kirinya (2, 4, 5), lalu 3; pilihan lainnya adalah inorder, postorder, dan level-order.

Jawaban

C · 1 2 4 5 3
4.Struktur data

Jawaban: D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan

Mengapa ini jawabannya

Dengan kedua optimasi tersebut, operasi membutuhkan waktu teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk setiap n yang realistis.

Jawaban

D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori graf

Jawaban: k = 5

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

8 − 1 = 7

Sisi yang dihapus

k = 12 − 7 = 5

Jawaban

k = 5
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 16

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 7, C: 1
C (1): E: 15
B (7): D: 8
D (8): F: 16
E (15)
F (16)

Lintasan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 16

Jawaban

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms