Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Bagaimana algoritma Prim membangun minimum spanning tree?

  1. AMenghapus sisi termahal sampai tidak ada siklus tersisa
  2. BMenumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
  3. CMengurutkan semua sisi berdasarkan bobot dan menambahkan masing-masing kecuali jika membentuk siklus dalam hutan
  4. DMenjalankan breadth-first search dan menyimpan pohon BFS
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Berapa kompleksitas waktu dari: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lakukan kerja O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.Struktur dataSedang

Sebuah queue diimplementasikan dengan dua stack: push ke stack "in", dan pop dari stack "out", yang diisi ulang dari "in" saat kosong. Berapa biaya amortisasi per operasi?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
4.Struktur dataSulit

Bagaimana radix tree (compressed trie) memperbaiki trie biasa?

  1. AMenyimpan setiap kata dalam hash table di root alih-alih dalam node-node terpisah
  2. BMenggabungkan rantai node beranak tunggal menjadi satu sisi yang diberi label string
  3. CHanya menyimpan huruf pertama setiap kata
  4. DMengurutkan anak-anak setiap node berdasarkan frekuensi
5.Teori grafSedang

Sebuah graf terhubung memiliki 14 simpul dan 14 sisi. Berapa sisi k yang harus dihapus agar tersisa pohon rentang?

|V| = 14|E| = 14
k =
6.Teori grafSulit
9152821033124ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon

Mengapa ini jawabannya

Algoritma Prim, dengan priority queue berisi sisi penyeberang, berjalan dalam O(E log V) dengan binary heap.

Jawaban

B · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · O(n log n)

Mengapa ini jawabannya

Totalnya n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, dan bilangan harmonik Hn adalah Θ(log n).

Jawaban

A · O(n log n)
3.Struktur data

Jawaban: C · O(1)

Mengapa ini jawabannya

Setiap elemen di-push dan di-pop paling banyak dua kali secara total, sehingga meskipun satu kali pengisian ulang dapat memakan O(n), rata-rata atas suatu urutan operasi adalah O(1).

Jawaban

C · O(1)
4.Struktur data

Jawaban: B · Menggabungkan rantai node beranak tunggal menjadi satu sisi yang diberi label string

Mengapa ini jawabannya

Meringkas jalur tanpa percabangan mengurangi jumlah node dan memori yang dipakai sambil tetap mendukung pencarian prefiks.

Jawaban

B · Menggabungkan rantai node beranak tunggal menjadi satu sisi yang diberi label string
5.Teori graf

Jawaban: k = 1

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Sisi pohon rentang

14 − 1 = 13

Sisi yang dihapus

k = 14 − 13 = 1

Jawaban

k = 1
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 16

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 11
D (11): E: 13, F: 21, G: 23
E (13): F: 16, G: 17
C (15)
F (16)
G (17)

Lintasan terpendek

A → B → D → E → F
d(F) = 16

Jawaban

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms