Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Dengan koin 1, 3, dan 4 serta jumlah 6, berapa koin yang dipakai metode greedy "koin terbesar dulu" dibandingkan solusi optimal?

  1. AGreedy memakai 2 koin; optimalnya 2
  2. BGreedy memakai 4 koin; optimalnya 3
  3. CGreedy memakai 3 koin; optimalnya 3
  4. DGreedy memakai 3 koin; optimalnya 2
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Teknik manakah yang memberikan waktu eksekusi harapan (expected) O(n log n) untuk quicksort pada input apa pun?

  1. AMengurutkan input sebelum menjalankan quicksort
  2. BMenggunakan rekursi hanya pada sisi kiri
  3. CSelalu memilih elemen pertama
  4. DMemilih pivot secara acak seragam
3.Struktur dataSedang

Dalam binary heap yang disimpan dalam array mulai dari indeks 0, di mana induk dari node pada indeks i?

  1. APada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BPada indeks i − 1
  3. CPada indeks 2i + 1
  4. DPada indeks ⌊i / 2⌋ + 1
4.Struktur dataSulit

Pernyataan mana tentang heapsort yang benar?

  1. AMemerlukan binary search tree sebagai penyimpanan tambahan, sehingga memakai memori tambahan O(n)
  2. BHeapsort berjalan dalam waktu O(n) pada input apa pun
  3. CHeapsort stabil dan memerlukan memori tambahan O(n)
  4. DHeapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K5? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K5
H =
6.Teori grafSulit
64134321151312ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) lintasan terpendek dari A ke D pada graf berbobot.

awal: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Greedy memakai 3 koin; optimalnya 2

Mengapa ini jawabannya

Greedy mengambil 4 + 1 + 1 = 3 koin, tetapi 3 + 3 hanya memakai 2, sehingga greedy tidak optimal untuk sistem koin ini; dynamic programming optimal.

Jawaban

D · Greedy memakai 3 koin; optimalnya 2
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Memilih pivot secara acak seragam

Mengapa ini jawabannya

Dengan pivot acak, waktu eksekusi harapan adalah O(n log n) untuk setiap input; kasus buruk tetap ada tetapi sangat kecil kemungkinannya.

Jawaban

D · Memilih pivot secara acak seragam
3.Struktur data

Jawaban: A · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋

Mengapa ini jawabannya

Anak-anak i berada di 2i + 1 dan 2i + 2, sehingga induk i adalah ⌊(i − 1) / 2⌋; dengan indeks berbasis 1, induknya ⌊i / 2⌋.

Jawaban

A · Pada indeks ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktur data

Jawaban: D · Heapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

Mengapa ini jawabannya

Heapsort membangun max-heap dan mengekstraksi maksimum n kali di dalam array yang sama; penukaran jarak jauh dapat mengubah urutan kunci yang sama.

Jawaban

D · Heapsort mengurutkan di tempat dalam waktu kasus terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
5.Teori graf

Jawaban: H = 12

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Jawaban

H = 12
6.Teori graf

Jawaban: d(D) = 11

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 6, C: 4
C (4): E: 8, G: 9
B (6)
E (8): D: 11, F: 10
G (9)
F (10)
D (11)

Lintasan terpendek

A → C → E → D
d(D) = 11

Jawaban

d(D) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms