Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa kompleksitas waktu dari: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Batas mana yang benar untuk log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Struktur dataSedang

Berapa biaya menyisipkan elemen di tengah array berisi n elemen?

  1. AO(n²), karena setiap elemen bergeser n kali
  2. BO(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser
  3. CO(1), karena indeksnya diketahui
  4. DO(log n), karena binary search
4.Struktur dataSulit

Sebuah dynamic array berlipat dua ketika penuh. Mengapa banyak implementasi hanya mengecilkannya ketika terisi seperempat, bukan separuh?

  1. AKarena membagi dua pada separuh akan menghilangkan elemen
  2. BUntuk menghindari perubahan ukuran berulang ketika push dan pop bergantian di dekat batas
  3. CKarena alokator memori hanya dapat melepaskan memori dalam kelipatan seperempat blok
  4. DUntuk menjaga array tetap terurut
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 5, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 5
L =
6.Teori grafSulit
141156613141112ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: B · O(n log n)

Mengapa ini jawabannya

Loop dalam berjalan sekitar log₂ n kali untuk setiap n iterasi luar, sehingga hasilnya O(n log n).

Jawaban

B · O(n log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Θ(n log n)

Mengapa ini jawabannya

log(n!) ≤ n log n, dan n / 2 faktor terbesar memberikan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); inilah sebabnya pengurutan berbasis perbandingan memerlukan Ω(n log n).

Jawaban

D · Θ(n log n)
3.Struktur data

Jawaban: B · O(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser

Mengapa ini jawabannya

Semua elemen setelah titik penyisipan bergeser satu posisi ke kanan, yang memerlukan waktu sebanding dengan n.

Jawaban

B · O(n), karena elemen-elemen sesudahnya harus digeser
4.Struktur data

Jawaban: B · Untuk menghindari perubahan ukuran berulang ketika push dan pop bergantian di dekat batas

Mengapa ini jawabannya

Mengecilkan pada separuh dapat memicu perubahan ukuran pada setiap operasi dalam urutan seperti itu; jarak antara 1/4 dan penuh menjaga biaya amortisasi O(1).

Jawaban

B · Untuk menghindari perubahan ukuran berulang ketika push dan pop bergantian di dekat batas
5.Teori graf

Jawaban: L = 14

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Jawaban

L = 14

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 23

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): C: 14
C (14): B: 25, E: 20, G: 25
E (20): D: 26, F: 23
F (23): D: 24
D (24)
B (25)
G (25)

Lintasan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 23

Jawaban

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms