Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Dalam array terurut, Anda mencari dua elemen yang jumlahnya sama dengan target dengan menggerakkan satu pointer dari masing-masing ujung ke dalam. Berapa kompleksitas waktunya?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Apa yang ditetapkan oleh teorema Cook–Levin?

  1. AP tidak sama dengan NP
  2. BHalting problem tidak dapat diputuskan (undecidable)
  3. CBoolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete
  4. DSetiap masalah NP dapat diselesaikan dalam waktu eksponensial
3.Struktur dataSedang

Mengapa binary heap dapat disimpan dalam array tanpa pointer sama sekali?

  1. ASemua kunci dalam heap sama
  2. BArray otomatis menjaga kunci tetap terurut, sehingga tidak diperlukan pointer
  3. CHeap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana
  4. DHeap tidak pernah berisi lebih dari 100 elemen
4.Struktur dataSulit

Kompleksitas waktu decrease-key pada binary heap (jika posisi elemen diketahui) adalah:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K4? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K4
H =
6.Teori grafSulit
11941511224ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(n)

Mengapa ini jawabannya

Jika jumlahnya terlalu kecil, pointer kiri bergeser ke kanan; jika terlalu besar, pointer kanan bergeser ke kiri, sehingga paling banyak ada n langkah.

Jawaban

C · O(n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Boolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete

Mengapa ini jawabannya

Cook dan Levin secara terpisah menunjukkan bahwa setiap masalah di NP dapat direduksi ke SAT dalam waktu polinomial, sehingga SAT menjadi masalah NP-complete pertama yang dikenal.

Jawaban

C · Boolean satisfiability problem (SAT) adalah NP-complete
3.Struktur data

Jawaban: C · Heap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana

Mengapa ini jawabannya

Kelengkapan berarti tidak ada celah, sehingga anak-anak indeks i selalu berada di 2i + 1 dan 2i + 2.

Jawaban

C · Heap adalah complete binary tree, sehingga posisinya mengikuti rumus indeks yang sederhana
4.Struktur data

Jawaban: D · O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Setelah kunci diturunkan, elemen bergeser ke atas (sift up) paling banyak setinggi heap. Fibonacci heap mencapai decrease-key teramortisasi O(1).

Jawaban

D · O(log n)
5.Teori graf

Jawaban: H = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawaban

H = 3
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 17

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 24
B (11): D: 15, E: 15
D (15): F: 27
E (15): F: 17
F (17)

Lintasan terpendek

A → B → E → F
d(F) = 17

Jawaban

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms