Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Kira-kira berapa perbandingan yang diperlukan binary search pada kasus terburuk untuk array terurut berisi 1,000,000 elemen?

  1. ASekitar 500,000
  2. BSekitar 1,000
  3. CSekitar 20
  4. DSekitar 100
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Suatu masalah disebut NP-complete jika masalah tersebut:

  1. ADapat diselesaikan dalam waktu polinomial
  2. BBerada di luar NP tetapi lebih sulit daripada semua masalah NP, seperti halting problem
  3. CTidak mungkin diselesaikan
  4. DTermasuk dalam NP dan setiap masalah NP dapat direduksi ke masalah tersebut dalam waktu polinomial
3.Struktur dataSedang

Sebuah queue diimplementasikan dengan dua stack: push ke stack "in", dan pop dari stack "out", yang diisi ulang dari "in" saat kosong. Berapa biaya amortisasi per operasi?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Struktur dataSulit

Struktur union-find (disjoint set) dengan union by rank dan path compression memiliki biaya teramortisasi per operasi sebesar:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
  4. DTepat O(log n)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 3, 4 simpul berderajat 4, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teori grafSulit
26131918914164ABCDEFG

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Sekitar 20

Mengapa ini jawabannya

220 ≈ 1,048,576, sehingga setelah sekitar 20 kali pembagian dua hanya tersisa satu elemen.

Jawaban

C · Sekitar 20
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Termasuk dalam NP dan setiap masalah NP dapat direduksi ke masalah tersebut dalam waktu polinomial

Mengapa ini jawabannya

Masalah NP-complete adalah masalah tersulit di NP; algoritma polinomial untuk salah satunya akan menghasilkan algoritma polinomial untuk seluruh NP.

Jawaban

D · Termasuk dalam NP dan setiap masalah NP dapat direduksi ke masalah tersebut dalam waktu polinomial
3.Struktur data

Jawaban: D · O(1)

Mengapa ini jawabannya

Setiap elemen di-push dan di-pop paling banyak dua kali secara total, sehingga meskipun satu kali pengisian ulang dapat memakan O(n), rata-rata atas suatu urutan operasi adalah O(1).

Jawaban

D · O(1)
4.Struktur data

Jawaban: C · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan

Mengapa ini jawabannya

Dengan kedua optimasi tersebut, operasi membutuhkan waktu teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk setiap n yang realistis.

Jawaban

C · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori graf

Jawaban: L = 14

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Jawaban

L = 14

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: W = 52

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (2): ambil
GE (4): ambil
BD (6): ambil
GB (9): ambil
CE (13): ambil
GC (14): lewati, membentuk siklus
GD (16): lewati, membentuk siklus
EF (18): ambil

Total bobot

W = 2 + 4 + 6 + 9 + 13 + 18 = 52

Jawaban

W = 52

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms