Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa kompleksitas waktu dari: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Untuk menunjukkan bahwa masalah baru X adalah NP-hard, apa yang harus Anda lakukan?

  1. AMenunjukkan bahwa X dapat diverifikasi dalam waktu polinomial
  2. BMenunjukkan bahwa X tidak memiliki algoritma polinomial untuk input kecil
  3. CMereduksi X ke masalah NP-hard yang sudah dikenal dalam waktu polinomial
  4. DMereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur dataSedang

Anda memiliki referensi ke sebuah node di tengah list. Pada list mana Anda dapat menghapusnya dalam O(1)?

  1. AArray terurut
  2. BDoubly linked list
  3. CDynamic array
  4. DSingly linked list
4.Struktur dataSulit

Struktur union-find (disjoint set) dengan union by rank dan path compression memiliki biaya teramortisasi per operasi sebesar:

  1. AO(n)
  2. BTepat O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K8? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K8
H =
6.Teori grafSulit
137731311314ABCDEFG

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(n log n)

Mengapa ini jawabannya

Loop dalam berjalan sekitar log₂ n kali untuk setiap n iterasi luar, sehingga hasilnya O(n log n).

Jawaban

C · O(n log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Mereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial

Mengapa ini jawabannya

Jika masalah sulit yang sudah dikenal dapat diubah menjadi X secara efisien, algoritma cepat untuk X juga akan menyelesaikan masalah yang dikenal itu.

Jawaban

D · Mereduksi masalah NP-hard yang sudah dikenal ke X dalam waktu polinomial
3.Struktur data

Jawaban: B · Doubly linked list

Mengapa ini jawabannya

Node doubly linked mengetahui pendahulunya, sehingga Anda dapat langsung menyambung ulang prev dan next; singly linked list harus mencari pendahulunya.

Jawaban

B · Doubly linked list
4.Struktur data

Jawaban: D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan

Mengapa ini jawabannya

Dengan kedua optimasi tersebut, operasi membutuhkan waktu teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk setiap n yang realistis.

Jawaban

D · O(α(n)), fungsi invers Ackermann, yang secara praktis konstan
5.Teori graf

Jawaban: H = 2520

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Jawaban

H = 2520
6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 24

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 13
B (13): C: 20, D: 20, G: 26
C (20): G: 21
D (20): E: 23, F: 33
G (21)
E (23): F: 24
F (24)

Lintasan terpendek

A → B → D → E → F
d(F) = 24

Jawaban

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms