Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Anda mengurutkan array berisi n elemen sekali, lalu menjawab k kueri keanggotaan dengan binary search. Berapa total biayanya?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Pernyataan mana tentang memilih elemen terkecil ke-k dari array tidak terurut yang benar?

  1. AQuickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk
  2. BSeleksi hanya mungkin dilakukan dalam O(n²)
  3. CSeleksi selalu memerlukan Ω(n log n) karena memerlukan pengurutan
  4. DQuickselect berjalan dalam O(log n) pada kasus terburuk, karena hanya berekursi ke satu sisi pivot
3.Struktur dataSedang

Struktur data manakah yang digunakan oleh depth-first search (versi iteratif)?

  1. AStack
  2. BHeap
  3. CQueue
  4. DHanya hash table
4.Struktur dataSulit

Jaminan apa yang diberikan aturan red-black tree tentang tinggi pohon dengan n kunci?

  1. ATingginya paling banyak n / 2
  2. BTingginya paling banyak log2 n + 1
  3. CTingginya paling banyak 2 log2(n + 1)
  4. DTingginya tepat log2 n
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 3 simpul berderajat 3, 3 simpul berderajat 2, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Teori grafSulit
8614915123ABCDEF

Pakai algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) lintasan terpendek dari A ke F pada graf berbobot.

awal: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawabannya

Pengurutan berbiaya O(n log n) dan setiap kueri O(log n); ini mengalahkan k kali pemindaian linear (O(nk)) ketika k besar.

Jawaban

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Quickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk

Mengapa ini jawabannya

Kerja yang diharapkan quickselect adalah n + n/2 + n/4 + ... = O(n) dengan pivot acak; memilih pivot sebagai median of medians membuat kasus terburuknya linear.

Jawaban

A · Quickselect berjalan dalam O(n) yang diharapkan, dan median-of-medians menjamin O(n) pada kasus terburuk
3.Struktur data

Jawaban: A · Stack

Mengapa ini jawabannya

DFS menjelajah sedalam mungkin, sehingga secara alami menggunakan stack (atau call stack dari rekursi); BFS menggunakan queue.

Jawaban

A · Stack
4.Struktur data

Jawaban: C · Tingginya paling banyak 2 log2(n + 1)

Mengapa ini jawabannya

Setiap lintasan memiliki jumlah node hitam yang sama dan node merah tidak boleh bersebelahan, sehingga lintasan terpanjang paling banyak dua kali yang terpendek, memberikan tinggi O(log n).

Jawaban

C · Tingginya paling banyak 2 log2(n + 1)
5.Teori graf

Jawaban: L = 5

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Jawaban

L = 5

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: d(F) = 18

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

Setiap baris: simpul yang ditetapkan, jarak finalnya, dan tetangga yang jaraknya membaik.

A (0): B: 8, C: 6
C (6): B: 7, E: 15
B (7): D: 11
D (11): F: 23
E (15): F: 18
F (18)

Lintasan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 18

Jawaban

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms